【SLAM十四讲】第三讲

最新推荐文章于 2025-04-11 19:27:13 发布

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分类专栏： SLAM十四讲 SLAM领域 CV/统计理论&算法 SLAM十四讲学习

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本文深入讲解SLAM中的旋转表示，包括旋转矩阵的性质、旋转向量与欧拉角的转换，以及四元数的定义、运算和旋转表示。通过实例介绍了旋转向量到旋转矩阵的变换，并提供了相关习题以巩固理解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.旋转矩阵

2.旋转向量和欧拉角

3.四元数

1.旋转矩阵

1.1点向量坐标系

向量是空间中存在的有方向有长度的一样东西，向量不等于坐标，不同坐标系下向量的坐标表示也不尽相同。只有确定了一个坐标系，我们才能说这个向量的坐标是多少。

${\pmb a} =\left [ {\pmb e_{1}}, {\pmb e_{2}}, {\pmb e_{3}} \right ] \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\a_{3} \end{bmatrix} =a_{1}{\pmb e_{1}}+a_{2} {\pmb e_{2}}+a_{3}{\pmb e_{3}} \ \eqno(3.1)$

向量的外积运算

${\pmb a}\times {\pmb b}=\begin{bmatrix}{\pmb i}&{\pmb j}&{\pmb k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\ a_{3}&0&-a_{1}\\ -a_{2}&a_{1}&0 \end{bmatrix} {\pmb b}\triangleq {\pmb a}^{\Lambda }{\pmb b} \ \eqno(3.2)$

其中， $^{\Lambda }$ 代表反对称矩阵，即 ${\pmb a}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix} and \ \ {\pmb a}^{\Lambda }=\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\ a_{3}&0&-a_{1}\\ -a_{2}&a_{1}&0 \end{bmatrix} \ \eqno(3.3)$

外积可以表示旋转，利用右手法则，大拇指朝向就是旋转向量的方向，事实也是 ${\pmb a}\times {\pmb b}$ 的方向。所以 ${\pmb a}$ 到 ${\pmb b}$ 的旋转就可以由大拇指朝向的向量 ${\pmb \omega }$ 来表示，也就是说，在这个坐标系下，旋转可以用三个实数来描述（这三个实数就是 ${\pmb \omega }$ 的坐标）

1.2坐标系间的欧式变换

${\pmb a} =\left [ {\pmb e_{1}}, {\pmb e_{2}}, {\pmb e_{3}} \right ] \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\a_{3} \end{bmatrix} =\left [ {{\pmb e_{1}}}', {{\pmb e_{2}}}',{{\pmb e_{3}}}' \right ] \begin{bmatrix} {a_{1}}' \\ {a_{2}}' \\{a_{3}}'\end{bmatrix} \ \eqno(3.4)$

同一个向量在不同坐标系下有不同的坐标表示，但这都表示的是一个向量，这个向量是固有存在的。

现在将上式（3.4）左乘 $\begin{bmatrix} e_{1}^{T}\\ e_{2}^{T}\\ e_{3}^{T} \end{bmatrix}$ ,得到

式 (3.5) 中的 ${\pmb R}$ 为旋转矩阵，旋转矩阵 ${\pmb R}$ 的特殊性质：

旋转矩阵是行列式为 1 的正交矩阵（旋转矩阵的逆为自身转置，逆矩阵 $\pmb R^{-1}$ 代表一个相反的旋转）

旋转矩阵的集合称之为特殊正交群

${\bf SO}(n)=\left \{\pmb R\in \mathbb{R}^{n\times n} }\Big| \pmb R \pmb R^{T}={ \emph I} &, det( {\pmb R})=1|\right \} \ \eqno(3.6)$

1.3 变换矩阵和齐次变换

之前的变换表达式 ${{\pmb a}}'={\pmb R\pmb a+\pmb t} \ \eqno(3.7)$ ,如果发生多次变换， ${{\pmb a}}''={\pmb R_{2}} \left ( {\pmb R_{1} \pmb a+\pmb t_{1}} \right ) +{\pmb t_{2}} \ \eqno(3.8)$ (2次)，这样使得计算过于麻烦，所以引入一个自由度，利用齐次坐标和变换矩阵重写（3.7）