3、基础代数与可计算性入门

基础代数与可计算性入门

1. 基础代数

1.1 群的定义与性质

群是一个满足特定公理的系统 ⟨G,·,1⟩，其中 G 是非空集合，1 是 G 中的元素，· 是 G 上的运算。具体公理如下：
- (A5)：(ab)c = a(bc)
- (A9)：1a = a1 = a
- (A12)：对于每个 a ∈G，存在 x ∈G 使得 ax = 1

若群还满足乘法交换律 (A8)，则称其为交换群。例如，整数集 Z 构成交换群 ⟨Z,+,0⟩，即整数加法群；对于正整数 m，⟨Zm,+,[0]⟩ 也是交换群。若 p 是素数，则 ⟨Zp - {[0]},·,[1]⟩ 是交换群，更一般地，对于任意域 ⟨F,+,·,0,1⟩，F 中的非零元素构成交换群 ⟨F - {0},·,1⟩，称为域的乘法群。

群的阶 o(G) 定义为：若 G 是有限集，则 o(G) 是 G 中元素的个数；否则为无穷大。元素 a 在 G 中的阶 o(a) 是使得 am = 1 的最小正整数 m，若不存在这样的整数，则 o(a) 为无穷大。整数加法群的阶为无穷大，⟨Zm,+,[0]⟩ 的阶为 m，对于素数 p，Zp 中非零元素的乘法群的阶为 p - 1。

1.2 子群与循环群

设 H 是 G 的非空子集，若 H 包含单位元 1 且 ⟨H,·,1⟩ 是群，则 H 是 G 的子群。对于群 ⟨G,·,1⟩ 和 a ∈G，集合 H = {ai | i ∈Z} 是 G 的子群，且 H 包含 o(a) 个元素。

若 G 包含元素 a 使得 G = {ai | i ∈Z}，则 G 是循环群，a 是生成元。对于任意群 ⟨G,·,1