3、基础代数与可计算性理论入门

基础代数与可计算性理论入门

基础代数部分

1. 群的相关概念
   • 群的定义 ：一个群是一个系统 ⟨G,·,1⟩，满足以下公理：
   • (A5)：(ab)c = a(bc)（结合律）
   • (A9)：1a = a1 = a（单位元性质）
   • (A12)：对于每一个 a ∈G，存在 x ∈G 使得 ax = 1（逆元性质）
   • 若还满足乘法交换律 (A8)，则该群为交换群。
   • 常见的群
   • 整数集 Z 构成一个交换群 ⟨Z,+,0⟩，称为整数的加法群。
   • 对于每一个正整数 m，⟨Zm,+,[0]⟩ 是一个交换群。
   • 若 p 是素数，则 ⟨Zp - {[0]},·,[1]⟩ 是一个交换群。
   • 对于每一个域 ⟨F,+,·,0,1⟩，F 中的非零元素构成一个交换群 ⟨F - {0},·,1⟩，称为域的乘法群。
   • 群的阶
   • 群 ⟨G,·,1⟩ 的阶，记为 o(G)，若 G 是有限集，则为 G 中元素的个数；否则为无穷。
   • 元素 a 在 G 中的阶，记为 o(a)，是使得 am = 1 的最小正整数 m；若不存在这样的整数，则 o(a) 为无穷。
   • 整数加法群的阶是无穷；⟨Zm,+,[0]⟩ 的阶是 m；对于素数 p，Zp 中非零