6、使用 Sparkle 证明惰性函数式程序的属性

使用 Sparkle 证明惰性函数式程序的属性

1 形式化推理基础

形式化推理是一种强大的工具，用于验证程序的行为是否符合预期。其基本步骤如下：
1. 形式化对象 ：将需要验证的对象 (o) 进行形式化表示。
2. 形式化属性 ：定义一个关于对象 (o) 的属性 (p)。
3. 构建证明 ：构建一个形式化的证明，表明属性 (p) 对于对象 (o) 成立。

如果形式化推理成功并构建了证明，那么可以绝对确定形式化对象 (o) 的行为符合属性 (p) 的规定。这适用于对象 (o) 可能出现的所有环境，因为形式化证明必须考虑所有可能的情况。相比之下，测试的积极结果受到所使用的测试集的限制，因此形式化推理的积极结果更具说服力。

然而，如果形式化推理未能构建证明，则获得的信息有限。可能是对象 (o) 本身不正确，或者属性 (p) 对对象 (o) 的期望行为指定有误，也可能是证明构建者没有采用正确的证明方法。形式化推理的消极结果难以正确解释，因此不如测试的消极结果有用。

2 形式化框架

形式化推理利用对象的形式化表示（输入）、待证明的属性（输入）和待构建的证明（输出）。此外，为了确保推理的可靠性，还需要一个为属性赋予含义的形式化语义。这些推理的先决条件的组合称为形式化框架：
- 定义 ：形式化框架是一个元组 ((O, P, ⊨_o, ⊢_o))，其中：
- (O) 是包含所有可能要推理的对象的集合，(o ∈ O) 表示 (o) 是一个有效的推理对象。