信号与系统复习笔记——傅里叶变换

信号与系统复习笔记——傅里叶变换

周期信号的傅里叶级数表示

特征函数

假设LTI系统的输入为 $x(t)=e^{st}$ 输出为：

$$y(t)=e^{st}\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{s(t-\tau )}h(\tau )d\tau =e^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-s\tau }h(\tau )d\tau =x(t)H(s)$$

定义LTI系统的特征函数为：

$$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-s\tau }h(\tau )d\tau$$

CT周期函数的傅里叶级数表示

对于周期函数 $x_T(t)$ 来说，周期为 $T$ ，角频率为 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ ，那么其傅里叶级数表示的形式为：

$$x_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t},\text{(综合公式)}$$

其中 $a_k$ 为 $x_T(t)$ 的 $k$ 次谐波的傅里叶级数的系数。

其中 $e^{jk{\omega }_{0}t}$ 称为旋转因子，而$e^{-jk{\omega }_{0}t}$ 称为筛选因子，确定傅里叶系数的方法是两边同时乘以系数为 $n$ 的筛选因子：

$$x_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}$$

同时在一个周期内做积分：

$${\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^T\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt$$

对于积分 ${\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt$ 来说，当 $k=n$ 的时候，积分值为 $T$ ，否则等于 $0$ ，也就是：

$${\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=T{a}_n$$

即：

$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt,\text{(分析公式)}$$

CT的傅里叶级数的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax(t)+By(t)$	$A{a}_k+B{b}_k$
时移	$x(t-t_0)$	$a_k{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}$
频移	$x(t)e^{jM{\omega }_{0}t}$	$a_{k-M}$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$a_{-k}^{\ast }$
时间翻转	$x(-t)$	$a_{-k}$
时域尺度变换	$x(\alpha t)$	$a_k(T=T/\alpha )$
周期卷积	${\int }_{T}x(\tau )y(t-\tau )d\tau$	$T{a}_k{b}_k$
相乘	$x(t)y(t)$	${\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }{a}_l{b}_{k-l}$
微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$jk{\omega }_0{a}_k$
积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(t)dt$	$\frac{1}{jk{\omega }_0}{a}_k$
实信号的共轭对称性	$x(t)$ 为实信号	$a_k=-a_k^{\ast }$
实偶信号	$x(t)$ 为实偶信号	$a_k$ 为实偶函数
实奇信号	$x(t)$ 为实奇信号	$a_k$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	xe(t)=Ev{x(t)},xo(t)=Od{x(t)}x_e(t) = Ev\{x(t)\}, x_o(t) = Od\{x(t)\}xe​(t)=Ev{x(t)},xo​(t)=Od{x(t)} 并且 $x(t)$ 为实信号	ℜ{ak},jℑ{ak}\Re\{a_k\},j\Im\{a_k\}ℜ{ak​},jℑ{ak​}
周期信号的帕瓦尔定理	$x(t)$	$\frac{1}{T}{\int }_T|x(t){|}^{2}dt={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }|a_k{|}^2$

DT周期信号的傅里叶级数表示

定义周期信号的周期为 $N$ ，有 $x[n]=x[n+N]$ 。而 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{N}$ 为基波频率。则 $k$ 次谐波转子为：

$${\varphi }_k[n]=e^{jk{\omega }_{0}n}$$

并且，因为再离散时间中， $k$ 和 $n$ 均为整数的话，那么 ${\varphi }_k[n]$ 也为关于 $k$ 周期为 $N$ 的函数，也就是：

$$\varphi [n]={\varphi }_{k+rN}[n]$$

这就是说，周期为 $N$ 的离散时间信号，其傅里叶级数的系数只有 $N$ 个，并且是一个周期为 $N$ 的序列。因此DT周期信号的傅里叶级数表示为：

$$x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{o}n},\text{(综合公式)}$$

对于连续的 $N$ 个取值：

$$x[0]=\sum _{k=<N>}{a}_k,x[1]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_0},\dots ,x[N-1]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_0(N-1)}$$

这些是 $N$ 个线性独立的方程，可以直接解出 $N$ 个系数的值。若想通过CT同样的方法，有以下的事实：

$$\sum _{n=<N>}{e}^{jk{\omega }_0}n=N(k=0,\pm N,\pm 2N,\dots )$$

否则其他情况下等于 $0$ 。

那么同样的，先乘以关于 $r$ 的提取因子，然后在一个周期中求和：

$$\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jr{\omega }_{0}n}=\sum _{n=<N>}\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}=\sum _{k=<N>}{a}_k\sum _{n=<N>}{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}$$

对于和式 ${\sum }_{n=<N>}{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}$ 当 $k=r+cN$ 的时候，即 $k-r$ 是 $N$ 的整数倍的时候，又因为在一个周期内只有一次 $k-r$ 是 $N$ 的整数倍，且对应 $k=r$ ，于是右边就等于 $N{a}_r$ ，因此：

$$a_r=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jr{\omega }_{0}n},\text{(分析公式)}$$

DT的傅里叶级数的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax[n]+By[n]$	$A{a}_k+B{b}_k$
时移	$x[n-n_0]$	$a_k{e}^{-jk{\omega }_0{n}_0}$
频移	$x[n]e^{jM{\omega }_{0}n}$	$a_{k-M}$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$a_{-k}^{\ast }$
时间翻转	$x[-n]$	$a_{-k}$
时域尺度变换	$x_{(m)}[n]=x[n/m]$	$\frac{1}{m}{a}_k(N=Nm)$
周期卷积	${\sum }_{r=<N>}x[r]y[n-r]d\tau$	$N{a}_k{b}_k$
相乘	$x[n]y[n]$	${\sum }_{l=<N>}{a}_l{b}_{k-l}$
一阶差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-jk{\omega }_0})a_k$
求和	${\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$	$\frac{1}{(1-e^{-jk{\omega }_0})}{a}_k$
实信号的共轭对称性	$x[n]$ 为实信号	$a_k=-a_k^{\ast }$
实偶信号	$x[n]$ 为实偶信号	$a_k$ 为实偶函数
实奇信号	$x[n]$ 为实奇信号	$a_k$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	xe[n]=Ev{x[n]},xo[n]=Od{x[n]}x_e[n] = Ev\{x[n]\}, x_o[n] = Od\{x[n]\}xe​[n]=Ev{x[n]},xo​[n]=Od{x[n]} 并且 $x[n]$ 为实信号	ℜ{ak},jℑ{ak}\Re\{a_k\},j\Im\{a_k\}ℜ{ak​},jℑ{ak​}
周期信号的帕瓦尔定理	$x[n]$	$\frac{1}{N}{\sum }_{n=<N>}|x[n]{|}^2={\sum }_{k=<N>}|a_k{|}^2$

连续时间傅里叶变换

连续时间非周期的傅里叶表示

假设连续时间的周期信号为 $x_T(t)$ ，对应的单个周期信号为 $x(t)$ ，因为：

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{x}_T(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$

定义 $T{a}_k$ 的包络函数为：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt,\text{(分析公式)}$$

此时 $a_k$ 可以表示为：

$$a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)$$

并且：

$$x_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$

接下来进行周期延拓，即 ${\lim }_{T\to \infty }{x}_T(t)=x(t)$ 有：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega ,\text{(综合公式)}$$

上面两式称为傅里叶变换。

连续时间傅里叶变换的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax(t)+By(t)$	$AX(j\omega )+BY(j\omega )$
时移	$x(t-t_0)$	$X(j\omega )e^{-j\omega t_0}$
频移	$x(t)e^{j{\omega }_{0}t}$	$X(j(\omega -{\omega }_0))$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$X^{\ast }(-j\omega )$
时间翻转	$x(-t)$	$X(-j\omega )$
时域尺度变换	$x(\alpha t)$	$\frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega }{a})$
卷积	$x(t)\ast y(t)$	$X(j\omega )Y(j\omega )$
相乘	$x(t)y(t)$	$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\theta )Y(j(\omega -\theta ))d\theta$
时域微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$j\omega X(j\omega )$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(t)dt$	$\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )$
频域微分	$tx(t)$	$j\frac{d}{d\omega }X(j\omega )$
实信号的共轭对称性	$x(t)$ 为实信号	$X(j\omega )=X^{\ast }(-j\omega )$
实偶信号	$x(t)$ 为实偶信号	$X(j\omega )$ 为实偶函数
实奇信号	$x(t)$ 为实奇信号	$X(j\omega )$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	xe(t)=Ev{x(t)},xo(t)=Od{x(t)}x_e(t) = Ev\{x(t)\}, x_o(t) = Od\{x(t)\}xe​(t)=Ev{x(t)},xo​(t)=Od{x(t)} 并且 $x(t)$ 为实信号	ℜ{X(jω)},jℑ{X(jω)}\Re\{X(j\omega)\},j\Im\{X(j\omega)\}ℜ{X(jω)},jℑ{X(jω)}
周期信号的帕瓦尔定理	$x(t)$	${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|X(j\omega ){|}^{2}d\omega$

基本傅里叶变换对

1. 周期信号的傅里叶变换

考虑这样一个信号的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )=2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$$

其对应的时域信号为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega =e^{j{\omega }_{0}t}$$

那么通过周期信号的傅里叶系数关系为：

$$X(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

其对应的时域信号为：

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

2. 单边衰减信号

考虑信号 $x(t)=e^{-at}u(t),a>0$ 。其对应的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-j\omega t}dt=-\frac{1}{a+j\omega }{e}^{-(a+j\omega )t}{|}_0^{\infty }=\frac{1}{a+j\omega }(a>0)$$

3. 双边衰减信号

考虑信号 $x(t)=e^{-a|t|},a>0$ 。其对应的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )=\frac{1}{a-j\omega }+\frac{1}{a+j\omega }=\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$$

4. 单位冲激函数的傅里叶变换

单位冲激函数 $x(t)=\delta (t)$ 的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$$

5. 矩形脉冲信号的傅里叶变换

考虑一个矩形脉冲信号：

$$x(t)=1,|t|<T_1$$

$$x(t)=0,|t|>T_1$$

其傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_{-T_1}^{T_1}{e}^{j\omega t}dt=2\frac{\sin \omega T_1}{\omega }$$

6. 傅里叶变换的对偶性

假设信号 $x(t)$ 存在傅里叶变换对：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

那么信号 $X(jt)$ 存在傅里叶变换对：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }X(jt)e^{-j\omega t}dt=2\pi x(-\omega )$$

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\omega )e^{j\omega t}d\omega =\frac{1}{2\pi }X(-jt)$$

7. 典型的傅里叶变换对

信号	傅里叶变换	傅里叶级数系数（若是周期信号）
${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$	${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$	$a_k$
$e^{jk{\omega }_{0}t}$	$2\pi \delta (\omega -k{\omega }_0)$	$a_1=1,a_k=0$
$\cos {\omega }_{0}t$	$\pi [\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)]$	$a_1=a_{-1}=\frac{1}{2},a_k=0$
$\sin {\omega }_{0}t$	$\frac{\pi }{j}[\delta (\omega -{\omega }_0)-\delta (\omega +{\omega }_0)]$	$a_1=-a_{-1}=\frac{1}{2j},a_k=0$
$x(t)=1$	$2\pi \delta (\omega )$	$a_0=1,a_k=0$
周期方波$x(t)=1,|t|<T_1$	${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{2\sin k{\omega }_0{T}_1}{k}\delta (\omega -k{\omega }_0)$	$\frac{\sin k{\omega }_0{T}_1}{k\pi }$
周期冲激串${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$	$\frac{2\pi }{T}{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -\frac{2\pi k}{T})$	$a_k=\frac{1}{T}$
矩形阶跃函数$x(t)=1,|t|<T_1$	$\frac{2\sin \omega T_1}{\omega }$	-
$\frac{\sin Wt}{\pi t}$	$X(j\omega )=1,|\omega |<W$	-
$\delta (t)$	$1$	-
$u(t)$	$\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$	-
$\delta (t-t_0)$	$e^{j\omega t_0}$	-
$e^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{a+j\omega }$	-
$t{e}^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{(a+j\omega {)}^2}$	-
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{(a+j\omega {)}^n}$	-

傅里叶变换与线性常系数微分方程表述的系统

对于线性常系数微分方程描述的系统：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$$

有卷积关系：

$$y(t)=h(t)\ast x(t)$$

根据傅里叶变换的性质有：

$$Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$$

我们称函数 $H(j\omega )$ 为 系统频响函数 。

对微分方程两边做傅里叶变换：

F{∑k=0Nakdky(t)dtk}=F{∑k=0Mbkdkx(t)dtk} \mathscr{F} \{\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k}\} = \mathscr{F} \{\sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}\} F{k=0∑N​ak​dtkdky(t)​}=F{k=0∑M​bk​dtkdkx(t)​}

根据傅里叶变换的微分性质：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^{k}Y(j\omega )=\sum _{k=0}^M{b}_k(j\omega {)}^{k}X(j\omega )$$

可得：

$$H(j\omega )=\frac{Y(j\omega )}{X(j\omega )}=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k(j\omega {)}^k}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^k}$$

离散时间傅里叶变换

离散时间非周期的傅里叶表示

假设有离散时间的信号 $x_T[n]$ ，那么其傅里叶系数表示为：

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}$$

其对应的非周期的信号表示在一个周期内 $[-N_1,N_2]$ 为 $x[n]$ ，那么：

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=-N_1}^{N_2}x[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}$$

我们定义 $a_{k}N$ 的包络：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-j\omega n},\text{分析公式}$$

为离散时间傅里叶变换。

那么有：

$$a_k=\frac{1}{N}X(e^{jk{\omega }_0})$$

则重新带回原始得到：

$$x_T[n]=\sum _{k=<N>}\frac{1}{N}X(e^{jk{\omega }_0})e^{jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=<N>}X(e^{jk{\omega }_0})e^{jk{\omega }_{0}n}{\omega }_0$$

当 $N\to \infty$ 的时候，其在一个周期上的求和就变成了在 $2\pi$ 内的一个积分，即：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega ,\text{综合公式}$$

因为 $X(e^{j\omega })e^{j\omega n}$ 关于 $\omega$ 周期为 $2\pi$ 的函数，这说明我们的积分区间可以随意取一个连续的 $2\pi$ 周期。

同时，对于非周期信号的傅里叶变换频谱公式 $X(e^{j\omega })$ 来说，也是一个关于 $\omega$ 周期为 $2\pi$ 的函数，这说明 非周期的离散信号的傅里叶频谱是一个周期为 $2\pi$ 的函数 。

离散时间非周期的傅里叶的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax[n]+By[n]$	$AX(e^{j\omega })+BY(e^{j\omega })$
时移	$x[n-n_0]$	$X(e^{j\omega })e^{-j\omega n_0}$
频移	$x[n]e^{j{\omega }_{0}n}$	$X(e^{j(\omega -{\omega }_0)})$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$X^{\ast }(e^{-j\omega })$
时间翻转	$x[-n]$	$X(e^{-j\omega })$
时域尺度变换	$x_{(k)}[n]=x[n/k]$	$X(e^{jk\omega })$
卷积	$x[n]\ast y[n]$	$X(e^{j\omega })Y(e^{j\omega })$
相乘	$x[t]y[t]$	$\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\theta })Y(e^{j(\omega -\theta )})d\theta$
时域差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-j\omega })X(e^{j\omega })$
时域累加	${\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-e^{-j\omega }}X(e^{j\omega })+\pi X(e^{j0}){\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -2\pi k)$
频域微分	$nx[n]$	$j\frac{d}{d\omega }X(e^{j\omega })$
实信号的共轭对称性	$x[n]$ 为实信号	$X(e^{j\omega })=X^{\ast }(e^{-j\omega })$
实偶信号	$x[n]$ 为实偶信号	$X(e^{j\omega })$ 为实偶函数
实奇信号	$x[n]$ 为实奇信号	$X(e^{j\omega })$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	xe[n]=Ev{x[n]},xo[n]=Od{x[n]}x_e[n] = Ev\{x[n]\}, x_o[n] = Od\{x[n]\}xe​[n]=Ev{x[n]},xo​[n]=Od{x[n]} 并且 $x[n]$ 为实信号	ℜ{X(ejω)},jℑ{X(ejω)}\Re\{X(e^{j\omega})\},j\Im\{X(e^{j\omega})\}ℜ{X(ejω)},jℑ{X(ejω)}
周期信号的帕瓦尔定理	$x[n]$	${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$

基本离散时间信号的傅里叶变换对

1. 周期信号

考虑信号 $x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$ 的傅里变换为：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)$$

现在考虑一个周期为 $N$ 的周期序列，其傅里叶级数为：

$$x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}$$

那么他的傅里叶变换就是：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})$$

2. 离散时间傅里叶系数的对偶性

若两个周期为 $N$ 的序列 $f[n]$ 和 $g[n]$ ，若 $f[k]$ 是 $g[n]$ 的离散时间傅里叶系数，即

$$g[n]\leftrightarrow f[k]$$

那么：

$$f[n]\leftrightarrow \frac{1}{N}g[-k]$$

3. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶系数的对偶性

考虑离散时间傅里叶变换：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

与连续时间傅里叶系数：

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{-jk{\omega }_{0}t}$$

这相当于将 $x[n]$ 看成是一个连续时间函数的傅里叶系数，同理，我们可以将 $x(t)$ 看做是一个离散时间函数的傅里叶变换。

4. 常用基本离散时间信号的傅里叶变换对表

信号	傅里叶变换	傅里叶系数（若为周期的）
${\sum }_{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n},N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$	$2\pi {\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$	$a_k$
$e^{j{\omega }_{0}n},N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$	$2\pi {\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)$	$a_k=1,k=1,1\pm N,\dots$
$\cos {\omega }_{0}n,N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$	$\pi {\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }(\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)+\delta (\omega +\omega -2\pi l))$	$a_k=\frac{1}{2},k=1,1\pm N,\dots$
$\sin {\omega }_{0}n,N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$	$\frac{\pi }{j}{\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }(\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)-\delta (\omega +\omega -2\pi l))$	$a_k=\frac{1}{2j},k=1,1\pm N,\dots ;a_k=-\frac{1}{2j},k=-1,-1\pm N,\dots$
$x[n]=1$	$2\pi {\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -2\pi l)$	$a_k=1,k=0,\pm N,\dots$
周期方波$x[n]=1,|n|\le N_1,x[n+N]=x[n]$	$2\pi {\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k\delta (\omega -\frac{2\pi }{N})$	$a_k=\frac{\sin (2\pi k/N)(N_1+\frac{1}{2})}{N\sin 2\pi k/2N},k\ne 0,\pm N,\dots ;a_k=\frac{2N_1+1}{N},k=0,\pm N,\dots$
${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\delta [n-kN]$	$\frac{2\pi }{N}{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})$	$a_k=\frac{1}{N}$
$a^{n}u[n]$,|a| < 1$	$\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$	-
$x[n]=1,|n|\le N_1$	$\frac{\sin \omega (N_1+\frac{1}{2})}{\sin \omega /2}$	-
$\frac{\sin Wn}{\pi n},0<W<\pi$	$X(\omega )=1,0\le |\omega |\le W$ 并且 $X(\omega )$ 是周期的为 $2\pi$	-
$\delta [n]$	$1$	-
$u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-j\omega }}+{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\pi \delta (\omega -w\pi k)$	-
$\delta [n-n_0]$	$e^{-j\omega n_0}$	-
$(n+1)a^{n}u[n],|a|<1$	$\frac{1}{(1-a{e}^{-j\omega }{)}^2}$	-
$\frac{(n+r-1)!}{n!(r-1)!}{a}^{n}u[n],|a|<1$	$\frac{1}{(1-a{e}^{-j\omega }{)}^r}$	-

由线性常系数差分方程表征的系统

由下面表示的线性常系数差分方程表征的系统：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

通过傅里叶变换时移和线性的性质可以表示为频域上：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k{e}^{-jk\omega }Y(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^M{b}_k{e}^{-jk\omega }X(e^{j\omega })$$

或等效为：

$$H(e^{j\omega })=\frac{Y(e^{j\omega })}{X(e^{j\omega })}=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{e}^{-jk\omega }}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{e}^{-jk\omega }}$$