信号与系统复习笔记——采样

信号与系统复习笔记——采样与通讯系统

采样定理

冲激串采样函数可表示为：

$$p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$$

周期 $T$ 称为采样周期，而 ${\omega }_s=\frac{1}{T}$ 为采样频率。

对信号 $x(t)$ 进行冲激串采样的结果为：

$$x_p(t)=x(t)p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\delta (t-nT)$$

$x_p(t)$ 本身仍是一个冲激串，幅度为 $x(t)$ 在采样点上的值。

并且有：

$$X_p(j\omega )=\frac{1}{2\pi }[X(j\omega )\ast P(j\omega )]$$

其中：

$$P(j\omega )=\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -k{\omega }_s)$$

已知信号和单位冲激函数做卷积等于该信号的位移：

$$X(j\omega )\ast \delta (\omega -{\omega }_0)=X(j(\omega -{\omega }_0))$$

于是有：

$$X_p(j\omega )=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(j(\omega -k{\omega }_s))$$

即 $X_p(j\omega )$ 频谱是 $X(j\omega )$ 频谱以周期 $T$ 出现并叠加得到的结果，若频谱无重叠，那么则可以通过低通滤波器得到原信号频谱，这称为 采样定理 ：

设 $x(t)$ 是一个带限信号，在 $|\omega |>{\omega }_M$ 的时候 $X(j\omega )=0$ 。如果 ${\omega }_s>2{\omega }_M$ ，那么 $x(t)$ 就可以被频率为 ${\omega }_s$ 的周期采样串所采样并且唯一的确定。

其中2倍最大频率 $2{\omega }_M$ 称为 奈奎斯特频率 。

零阶保持采样

实际上传输窄和幅度较大的脉冲是相当困难的，我们可以采用零阶保持的方法来进行采样，即在采样的瞬间，直到下一次采样点来临，都是一直保持这一样本值：

这相当于，冲激采样之后，在串联一个零阶保持器：

零阶保持器具有一个从0开始的矩形窗口的单位脉冲响应，并且保持时间为采样频率 $T$ 。

利用插值重建信号

插值，就是用一连续信号对一组样本值的拟合。常见的插值方法有：零阶保持插值、线性插值，多项式插值等。

对于冲激串采样的结果 $x_p(t)$ 来说，通入截止频率为 ${\omega }_M$ 的低通滤波器即可还原成源信号，这在时域上相当于做卷积：

xr(t)=xp(t)∗h(t)=∫−∞+∞h(t−τ)∑n=−∞+∞x(nT)δ(τ−nT)dτ=∑n=−∞+∞x(nT)∫−∞+∞h(t−τ)δ(τ−nT)dτ=∑n=−∞+∞x(nT)h(t−nT) x_r(t) = x_p(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t - \tau) \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \delta(\tau - nT) d\tau = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \int_{-\infty}^{+\infty}h(t - \tau) \delta(\tau - nT) d\tau = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) h(t - nT) xr​(t)=xp​(t)∗h(t)=∫−∞+∞​h(t−τ)