Python算法：数论问题

目录

完全数

水仙花数

素数

回文素数

平方回文数

分解质因数

最大公约数

最小公倍数

Stein 算法求最大公约数

小结

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数论是研究整数及其性质的数学学科。在数论中，研究的对象主要是整数、质数、素数、约数、同余、模运算等基本概念和性质。数论的问题简单而又充满了智慧，本文将探讨一些基本的数论问题和算法。

完全数

完全数指的是一个正整数，它的所有因子之和等于它本身，而因子不包括该数本身。一个数的因子就是所有可以整除这个数的数，而不包括该数本身。可以通过完全数的定义来编写查找完全数的算法。计算一个数的所有因子之和，判断与其是否相等。

目前并没有找到一种高效的方法来直接计算任意大数是否为完全数。已知的完全数非常稀少，而且它们的规律并不明确。随着数字的增大，它的因子数量也随之增多，计算过程会变得更加耗时，越往后查找完全数的速度越慢。为避免造成“程序失去响应”的误会，本案例会输出当前正在判断的数字，并且覆盖已经输出的非完全数。

# 判断一个数是否完全数，如果是完全数，返回因子列表
def perfect_number(number):
    factor_sum = 0
    factors = []
    # 从 1 开始，逐个判断是否是 number 的因子，不包括 number 自身
    for num in range(1, number):
        #  如果 num 是 number 的因子，则累加，并将 num 加入因子列表
        if number % num == 0:
            factor_sum += num
            if factor_sum > number:
                # 如果因子之和已经大于 number，说明 number 不是完全数，直接返回
                return False, []
            factors.append(num)

    # 上面的代码可以使用列表推导式简化，为了方便理解，这里不使用列表推导式
    # factors = [num for num in range(1, number // 2 + 1) if number % num == 0]
    # factor_sum = sum(factors)

    if factor_sum == number:
        # 如果因子之和等于 num，则 num 是完全数，同时返回因子列表
        return True, factors
    else:
        # 否则，num 不是完全数，同时返回空列表
        return False, []


n = int(input("请输入一个正整数 n："))
print("小于 %d 的完全数有：" % n)
for i in range(1, n):
    # 覆盖输出，不换行
    print("\r%d" % i, end="")
    # 判断 i 是否是完全数，如果是，则输出完全数及其因子
    is_perfect, pn = perfect_number(i)
    if is_perfect:
        print(" = ", end="")
        # 用 + 号连接完全数的因子
        print(" + ".join(map(str, pn)))

# 输出 n 的宽度个空格，覆盖最后一个非完数的输出
print("\r%s" % " " * len(str(n)), end="")

水仙花数

水仙花数（也称为自恋数、自幂数）指的是一个 n 位的正整数（n>=3），它的每个数字的 n 次幂之和等于它本身。