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数论是研究整数及其性质的数学学科。在数论中,研究的对象主要是整数、质数、素数、约数、同余、模运算等基本概念和性质。数论的问题简单而又充满了智慧,本文将探讨一些基本的数论问题和算法。
完全数
完全数指的是一个正整数,它的所有因子之和等于它本身,而因子不包括该数本身。一个数的因子就是所有可以整除这个数的数,而不包括该数本身。可以通过完全数的定义来编写查找完全数的算法。计算一个数的所有因子之和,判断与其是否相等。
目前并没有找到一种高效的方法来直接计算任意大数是否为完全数。已知的完全数非常稀少,而且它们的规律并不明确。随着数字的增大,它的因子数量也随之增多,计算过程会变得更加耗时,越往后查找完全数的速度越慢。为避免造成“程序失去响应”的误会,本案例会输出当前正在判断的数字,并且覆盖已经输出的非完全数。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 判断一个数是否完全数,如果是,返回因子个数,否则返回 0
int perfectNumber(int number, int *factors) {
int i = 0, factor_sum = 0;
// 从 1 开始,逐个判断是否是 number 的因子,不包括 number 自身
for (int num = 1; num < number; num++) {
// 如果 num 是 number 的因子,则累加,并将 num 记录到 factors 数组中
if (number % num == 0) {
factor_sum += num;
// 如果因子之和已经大于 number,说明 number 不是完全数,直接返回
if (factor_sum > number) return 0;
factors[i++] = num;
}
}
// 如果因子之和等于 number,则 number 是完全数,返回因子个数
return factor_sum == number ? i : 0;
}
int main() {
int n;
printf("请输入一个正整数 n:");
scanf("%d", &n);
printf("小于 %d 的完全数有:\n", n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 覆盖输出当前数字,用于输出进度
printf("\r%d", i);
int factors[300];
int count = perfectNumber(i, factors);
if (count > 0) {
printf(" = ");
// 用 + 号连接完全数的因子
for (int j = 0; j < count; j++) {
printf("%d", factors[j]);
if (j < count - 1) {
printf(" + ");
}
}
printf("\n");
}
}
// 输出 n 的宽度个空格,覆盖最后一个非完数的输出
printf("\r");
for (int i = 0; i < log10(n) + 1; i++) {
printf(" ");
}
return 0;
}
水仙花数
水仙花数(也称为自恋数、自幂数)指的是一个 n 位的正整数(n>=3),它的每个数字的 n 次幂之和等于它本身。
#include <stdio.h>
#include <mat