C语言算法：数论问题

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完全数

水仙花数

素数

回文素数

平方回文数

分解质因数

最大公约数

最小公倍数

Stein 算法求最大公约数

小结

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数论是研究整数及其性质的数学学科。在数论中，研究的对象主要是整数、质数、素数、约数、同余、模运算等基本概念和性质。数论的问题简单而又充满了智慧，本文将探讨一些基本的数论问题和算法。

完全数

完全数指的是一个正整数，它的所有因子之和等于它本身，而因子不包括该数本身。一个数的因子就是所有可以整除这个数的数，而不包括该数本身。可以通过完全数的定义来编写查找完全数的算法。计算一个数的所有因子之和，判断与其是否相等。

目前并没有找到一种高效的方法来直接计算任意大数是否为完全数。已知的完全数非常稀少，而且它们的规律并不明确。随着数字的增大，它的因子数量也随之增多，计算过程会变得更加耗时，越往后查找完全数的速度越慢。为避免造成“程序失去响应”的误会，本案例会输出当前正在判断的数字，并且覆盖已经输出的非完全数。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 判断一个数是否完全数，如果是，返回因子个数，否则返回 0
int perfectNumber(int number, int *factors) {
    int i = 0, factor_sum = 0;

    // 从 1 开始，逐个判断是否是 number 的因子，不包括 number 自身
    for (int num = 1; num < number; num++) {
        // 如果 num 是 number 的因子，则累加，并将 num 记录到 factors 数组中
        if (number % num == 0) {
            factor_sum += num;
            // 如果因子之和已经大于 number，说明 number 不是完全数，直接返回
            if (factor_sum > number) return 0;
            factors[i++] = num;

        }
    }

    // 如果因子之和等于 number，则 number 是完全数，返回因子个数
    return factor_sum == number ? i : 0;
}

int main() {
    int n;
    printf("请输入一个正整数 n：");
    scanf("%d", &n);

    printf("小于 %d 的完全数有：\n", n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 覆盖输出当前数字，用于输出进度
        printf("\r%d", i);
        int factors[300];
        int count = perfectNumber(i, factors);
        if (count > 0) {
            printf(" = ");
            // 用 + 号连接完全数的因子
            for (int j = 0; j < count; j++) {
                printf("%d", factors[j]);
                if (j < count - 1) {
                    printf(" + ");
                }
            }
            printf("\n");
        }
    }

    // 输出 n 的宽度个空格，覆盖最后一个非完数的输出
    printf("\r");
    for (int i = 0; i < log10(n) + 1; i++) {
        printf(" ");
    }

    return 0;
}

水仙花数

水仙花数（也称为自恋数、自幂数）指的是一个 n 位的正整数（n>=3），它的每个数字的 n 次幂之和等于它本身。

#include <stdio.h>
#include <mat