3D 旋转矩阵(三维旋转矩阵)旋转的线性变换

三维旋转矩阵_机器人刚体运动-三维空间中的旋转运动 旋转矩阵的数学定义设A为惯性坐标系,B为与刚体固联的动坐标系, 为坐标系B中主坐标轴相对于坐标系A的坐标。依次排列这三个坐标矢量,构成一个3×3矩阵: 旋转矩阵的性质旋转矩阵是正交矩阵 2. 对于右手坐标系 (左手系等于-1)更一般的情况, 空间中的旋转矩阵可定义为 符号SO是 special orthogonal(特殊正交)的缩写,其中 special指的是detR=+1,而非±1。SO(3... 阅读详情

3D 旋转矩阵(三维旋转矩阵)

三维旋转矩阵是正交矩阵,用于描述空间中点绕某一轴旋转的线性变换,满足:

RT=R−1 \Huge R^T = R^{-1} RT=R−1
det⁡(R)=1 \Huge \det(R)=1 det(R)=1

1. 基础轴旋转矩阵

(右手坐标系,逆时针旋转 θ)

绕 X 轴旋转

规则:X 坐标不变,Y-Z 平面旋转。

在这里插入图片描述

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Rx(θ)=[1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ] \Huge R_x(\theta)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Rx​(θ)=​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​​

示例:θ = 90° Rx(90∘)=[10000−1010]\Huge R_x(90^\circ) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix} Rx​(90∘)=​100​001​0−10​​ 点 (0,1,0) → (0,0,1)

绕 Y 轴旋转

规则:Y 坐标不变,X-Z 平面旋转。

在这里插入图片描述

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Ry(θ)=[cos⁡θ0sin⁡θ010−sin⁡θ0cos⁡θ] \Huge R_y(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} Ry​(θ)=​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​​

示例:θ = 90° Ry(90∘)=[001010−100]\Huge R_y(90^\circ) = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix} Ry​(90∘)=​00−1​010​100​​ 点 (1,0,0) → (0,0,-1)

绕 Z 轴旋转

规则:Z 坐标不变,X-Y 平面旋转。

在这里插入图片描述

Rz(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θ0sinθcos⁡θ0001] \Huge R_z(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz​(θ)=​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​​

示例:θ = 90° Rz(90∘)=[0−10100001]\Huge R_z(90^\circ) = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} Rz​(90∘)=​010​−100​001​​ 点 (1,0,0) → (0,1,0)

助记口诀

  • 绕谁谁不动:绕 X 则第一行 / 列不变;绕 Y 则第二行 / 列不变;绕 Z 则第三行 / 列不变。
  • 二维旋转套进去:另外两维构成的子矩阵就是 2D 旋转矩阵。
  • Y 轴符号特殊:−sinθ 在左下角(右手系约定)。

2. 复合旋转(欧拉角)

常用顺序:Z-Y-X
R=Rz(ψ) Ry(θ) Rx(ϕ) \Huge R= R_z(\psi)\, R_y(\theta)\, R_x(\phi) R=Rz​(ψ)Ry​(θ)Rx​(ϕ)
依次:绕 Z → 绕 Y → 绕 X。


3. 绕任意单位向量 n=(nx,ny,nz)\mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z)n=(nx​,ny​,nz​) 旋转(罗德里格斯公式)

R=cos⁡θ I+(1−cos⁡θ)nnT+sin⁡θ [0−nznynz0−nx−nynx0] \Huge R = \cos\theta \,I + (1-\cos\theta)\mathbf{n}\mathbf{n}^T + \sin\theta \, \begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix} R=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθ​0nz​−ny​​−nz​0nx​​ny​−nx​0​​


4. 用法

对空间点 p=(x,y,z)T\mathbf{p}=(x,y,z)^Tp=(x,y,z)T 旋转:
p′=R p \Huge \mathbf{p}' = R\,\mathbf{p} p′=Rp

三维空间的旋转矩阵 最近在做基于人体骨骼的动作识别实验时,需要统一人体骨骼在三维空间中的角度问题,解决这个问题的时候涉及到了旋转矩阵的问题,所以在博客里mark一下。 一. 旋转矩阵是啥? 旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的矩阵 二. 旋转矩阵怎么求? 实验中用的方法是角-轴表示。在三维空间中,旋转可以通过单一的旋转角θ\t 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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