∑ 求和符号核心运算法则 + 严格证明（从定义出发，通俗易懂）

求和符号核心运算法则 + 严格证明（从定义出发，通俗易懂）

所有证明依托最根本定义：
$$\sum _{i=m}^n{a}_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n$$

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一、基础定义

$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$
$i$：求和下标/哑变量（可换成 $k,j,t$ 不改变结果）
$1$：下限，$n$：上限
若无上下限、默认通篇求和；无穷和：$\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i$

二、线性核心法则（最常用）

1. 常数提取（数乘结合）

$$\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}\mathbf{k}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=\mathbf{k}\cdot \sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$$
$k$ 与下标 $i$ 无关的常数

2. 和差拆分

$$\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}({\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\pm {\mathbf{b}}_{\mathbf{i}})=\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\pm \sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$$

3. 常数直接求和

$$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}\mathbf{C}=\mathbf{C}\cdot \mathbf{n}$$
推广：$\sum _{i=m}^{n}C=C\cdot (n-m+1)$

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三、上下限变换法则

1. 上下限平移

$$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=2}^{n+1}{a}_{i-1}$$ 换元：令 $j=i+t$，整体平移下标

2. 区间拆分（分段求和）

$$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{k}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{k}+1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}(1\le k<n)$$

3. 上下限反转

$$\sum _{i=m}^n{a}_i=\sum _{i=n}^m{a}_i$$（值不变，只是书写顺序反）

四、二重求和/交换顺序

1. 独立下标可交换

若 $a_{i,j}$ 范围规整：
$$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{p}}\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{q}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i},\mathbf{j}}=\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{p}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i},\mathbf{j}}$$

2. 三角区域交换（必考）

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{a}_{i,j}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=j}^n{a}_{i,j}$$

3. 乘积求和分离（变量独立）

$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j$$

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五、特殊经典求和公式（高频套用）

1. 一次和：
   $$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$
2. 平方和：
   $$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
3. 立方和：
   $$\sum _{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$$
4. 等比求和：
   $$\sum _{i=0}^n{q}^i=\{\begin{array}{ll}n+1,& q=1\\ \frac{q^{n+1}-1}{q-1},& q\ne 1\end{array}$$

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六、拆分/裂项求和（竞赛&高数常用）

$$\sum _{i=1}^n(a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_1$$
（望远镜求和/裂项相消，中间全部抵消）

例：$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\sum \left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)$

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公式证明

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一、法则1：常数倍提取 $\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}\mathbf{k}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=\mathbf{k}\cdot \sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$

前提：$k$ 与求和下标 $i$ 无关，是固定常数

证明：

展开左侧定义：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=m}^{n}k{a}_i& =k{a}_m+k{a}_{m+1}+k{a}_{m+2}+\cdots +k{a}_n\\ & =k(a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n)\\ & =k\cdot \sum _{i=m}^n{a}_i\end{array}$$
证毕。

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二、法则2：和差拆分 $\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}({\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\pm {\mathbf{b}}_{\mathbf{i}})=\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\pm \sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$

证明（以加号为例，减号同理）：

左侧展开：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=m}^n(a_i+b_i)& =(a_m+b_m)+(a_{m+1}+b_{m+1})+\cdots +(a_n+b_n)\\ & =(a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n)+(b_m+b_{m+1}+\cdots +b_n)\\ & =\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=m}^n{b}_i\end{array}$$
证毕。

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三、法则3：常数求和 $\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{m}}^{\mathbf{n}}\mathbf{C}=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{n}-\mathbf{m}+1)$

证明：

$C$ 与 $i$ 无关，展开：
$$\sum _{i=m}^{n}C=\underset{\text{一共多少项？}}{\underbrace{C+C+C+\cdots +C}}$$
项数：从 $m$ 到 $n$ 整数个数 = $n-m+1$
所以：
$$\sum _{i=m}^{n}C=C\cdot (n-m+1)$$
特例：$\sum _{i=1}^{n}C=C\cdot n$
证毕。

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四、法则4：区间拆分 $\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{k}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+\sum _{\mathbf{i}=\mathbf{k}+1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}(1\le k<n)$

证明：

直接展开拼接：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^k{a}_i& =a_1+a_2+\cdots +a_k\\ \sum _{i=k+1}^n{a}_i& =a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_n\end{array}$$
相加：
$$(a_1+\cdots +a_k)+(a_{k+1}+\cdots +a_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$$
证毕。

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五、法则5：裂项相消（望远镜和）$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}({\mathbf{a}}_{\mathbf{i}+1}-{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}})={\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}-{\mathbf{a}}_1$

证明：逐项展开写开

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(a_{i+1}-a_i)& =(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots +(a_{n+1}-a_n)\end{array}$$
中间全部抵消：
$+a_2$ 与 $-a_2$ 消掉，$+a_3$ 与 $-a_3$ 消掉……
最后只剩：
$$=-a_1+a_{n+1}=a_{n+1}-a_1$$
证毕。

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六、法则6：二重求和（独立顺序可换）$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{p}}\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{q}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{ij}}=\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{q}}\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{p}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{ij}}$

理解+证明：

本质就是「先按行加再按列加」=「先按列加再按行加」
$$\sum _{i=1}^p\sum _{j=1}^q{a}_{ij}=\sum _{i=1}^p(a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{iq})$$
全部展开就是所有 $a_{ij}$ 无遗漏相加；
调换顺序后依然是全部 $a_{ij}$ 加一遍，加法交换律、结合律保证相等。
证毕。

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七、法则7：变量独立时乘积求和可分离

要证：
$$\left(\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\right)\left(\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{m}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{j}}\right)=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{m}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{j}}$$

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第一步：先把左边单层和展开

记
$$S_a=\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\cdots +a_n$$
$$S_b=\sum _{j=1}^m{b}_j=b_1+b_2+\cdots +b_m$$

左边：
$$S_a\cdot S_b=(a_1+a_2+\cdots +a_n)(b_1+b_2+\cdots +b_m)$$

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第二步：用乘法分配律（逐项相乘）

全部展开：
$$\begin{array}{rl}& a_1{b}_1+a_1{b}_2+\cdots +a_1{b}_m\\ +& a_2{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_2{b}_m\\ +& ⋮\\ +& a_n{b}_1+a_n{b}_2+\cdots +a_n{b}_m\end{array}$$

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第三步：把每一行写成内层求和

第一行：$\sum _{j=1}^m{a}_1{b}_j$
第二行：$\sum _{j=1}^m{a}_2{b}_j$
……
第 $n$ 行：$\sum _{j=1}^m{a}_n{b}_j$

整体再加起来：
$$\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j$$

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第四步：结论

$$\boxed{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j}$$
证毕 ✅

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关键提醒（易错）

只有：

• $a_i$ 只跟 $i$ 有关、不含 $j$
• $b_j$ 只跟 $j$ 有关、不含 $i$
  才能拆；
  如果是 $\sum a_i{b}_i$，不能拆成两个和相乘！

八、补充证明：常见易错不等式（反证）

1. 证明：$\sum {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}\ne (\sum {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}})(\sum {\mathbf{b}}_{\mathbf{i}})$
   举特例：取 $n=2,a_1=a_2=1,b_1=1,b_2=2$

左边：$\sum a_i{b}_i=1\cdot 1+1\cdot 2=3$
右边：$(\sum a_i)(\sum b_i)=(1+1)(1+2)=6$
$3\ne 6$，原式不成立。

2. 证明：$\sum {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}^2\ne (\sum {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{)}^2$
   举特例：取 $n=2,a_1=a_2=1,b_1=1,b_2=2$