27、向上分区书籍嵌入问题研究

向上分区书籍嵌入问题研究

1. 引言

书籍嵌入问题在图论和图算法领域有着广泛的研究和应用。1979年，Bernhart和Keinen首次引入了图的书籍嵌入和书厚度的概念。对于一个无向图 (G = (V, E))，书籍嵌入包含两个关键部分：
- 顶点 (V) 的线性排序 (\pi)，将顶点嵌入到平面上的一条直线（称为脊柱）上。
- 边 (E) 的不相交划分，使得每个划分集合中的边可以嵌入到一个页面（由脊柱界定的半平面）中，且页面内的边不相交。

图 (G) 的书厚度是其任何书籍嵌入中所需的最少页面数 (k)。此前关于无向图书籍嵌入的研究主要集中在特定图类的书厚度上，例如：
|图类|书厚度情况|
| ---- | ---- |
|完全二部图|有相关研究 [ENO97]|
|平面图|书厚度上限为 4 页 [Yan89,BBKR15,BGR16]|
|书厚度为 1 的图|恰好是外平面图，可在线性时间内识别 [BK79,Wie86]|
|有 2 页书籍嵌入的图|恰好是子哈密顿图，识别此类图是 NP 完全问题 [BK79,Wig82]|

书籍嵌入也被推广到有向图。对于有向无环图（DAG），向上书籍嵌入要求脊柱上顶点的线性排序是拓扑排序。对于一般有向图，定向书籍嵌入要求嵌入到页面（或脊柱）的所有弧的方向一致。

分区书籍嵌入问题是给定边到页面的划分，只需要找到脊柱上的顶点顺序。对于无向图，确定给定边划分是否能产生 2 页书籍嵌入可以在线性时间内完成，但当 (k \geq 3) 时，分区 (k) 页书籍嵌入问题是 NP 完全问题。

2. 问题定义