22、平滑正交和八边形绘图研究

平滑正交和八边形绘图研究

1. NP 难度结果

在研究无弯曲平滑正交和八边形绘图问题的复杂性时，对于最大度为 4 的平面图，我们做了额外假设：输入除了图的嵌入信息外，还指定了平滑正交或八边形表示，即相邻边之间的角度以及每条边的形状（如直线或四分之一圆弧）都已确定，类似于拓扑 - 形状 - 度量方法的最后一步。

1.1 定理 4

给定最大度为 4 的平面图 G 和平滑正交表示 R，判断 G 是否存在保留 R 的无弯曲平滑正交绘图是 NP 难的。

证明过程是从 3 - SAT 问题进行归约。对于合取范式的公式 ϕ，构建图 Gϕ 和平滑正交表示 Rϕ，使得 Gϕ 存在保留 Rϕ 的无弯曲平滑正交绘图 Γϕ 当且仅当 ϕ 是可满足的。

• 主要构造思想 ：

  • 特定直线边通过长度编码传输信息。
  • 矩形面将一条边的长度传播到其对边。
  • 由两条直线边和四分之一圆弧组成的面，直线边长度相同，可改变信息“流动”方向。

• 变量小工具（Variable gadget） ：
  对于公式 ϕ 中的每个变量 x，引入一个小工具。粗体绘制的四分之一圆弧确保其左侧边长度之和等于底部边长度之和。该小工具输入三条单位长度 ℓ(u) 的边，保证输出文字 x 和 x 的边长度 ℓ(x) 和 ℓ(x) 满足 ℓ(x) + ℓ(x) = 3 · ℓ(u)。若所有直线边长度为整数且至少为 1，当 ℓ(u) = 1 时，ℓ(x), ℓ(