7、密码系统的隐式多项式恢复与密码分析

密码系统的隐式多项式恢复与密码分析

1. 公钥加密系统描述

• 密钥生成 ：
  • 该密码系统涉及 $n×n$ 矩阵，其中 $n$ 为偶数，$N = pq$ 是一个随机的 1024 位 RSA 模数，$p$ 和 $q$ 是长度为 512 位的素数，建议 $n$ 取值为 2 或 4。
  • 定义集合 $\Gamma$ 为所有 $n×n$ 矩阵，其中奇数行的每个元素是 $p$ 的倍数，偶数行的每个元素是 $q$ 的倍数。
  • 定义两个 $n×n$ 置换矩阵 $P_1$ 和 $P_2$：
    $P_1 =
    \begin{bmatrix}
    0 & \cdots & 0 & 1 \
    0 & \cdots & 1 & 0 \
    \cdots \
    1 & \cdots & 0 & 0
    \end{bmatrix}$，$P_2 =
    \begin{bmatrix}
    0 & \cdots & 0 & 1 \
    1 & \cdots & 0 & 0 \
    \cdots \
    0 & \cdots & 1 & 0
    \end{bmatrix}$
  • 选择四个矩阵 $C, D, E, F \in Z^{n×n}$，使得 $C + EP_1 \in \Gamma$，$D + FP_2 \in \Gamma$。
  • 随机生成一个