15、深度学习中的曲线、曲面与信息论基础

深度学习中的曲线、曲面与信息论基础

1. 曲线与曲面的极值问题

在深度学习算法训练过程中，我们通常希望找到误差最小的情况。可以将误差想象成多维空间中的一个曲面，我们的目标就是找到这个曲面上的最小值。在寻找最小值时，我们会用到梯度的概念。梯度能为我们指明最陡峭的下坡方向，也就是负梯度方向。通过改变网络，让误差朝着这个方向移动，就能逐步降低系统的整体误差。

然而，在这个过程中会遇到一些问题。就像站在山顶或高原上，没有上下的坡度，梯度为零。在三维空间中，还存在一种新的特征——鞍点。在鞍点处，一个方向是山谷底部，另一个方向是山顶顶部，局部区域看起来像高原，梯度消失。当我们处于山顶、鞍点或高原时，算法就会陷入困境，因为虽然知道不是处于最小值，但梯度消失，无法确定向下移动的方向。

幸运的是，现代算法提供了各种自动技术来帮助我们摆脱困境。但有时这些技术会失败，除非引入重大改变，如提供额外的训练数据，否则算法将一直被困住，无法向曲面的更低值移动，这意味着算法停止学习，输出也不再改善。我们可以通过测量误差来观察学习进度，如果误差在结果可接受之前停止改善，可以对算法进行小的调整，使其在学习时选择不同的路径，避开梯度为零的特定点。

下面是一个简单的流程说明：
1. 初始化深度学习算法。
2. 计算误差曲面的梯度。
3. 根据负梯度方向改变网络。
4. 检查是否陷入山顶、鞍点或高原。
- 如果是，尝试自动技术摆脱困境。
- 如果自动技术失败，考虑提供额外训练数据。
5. 重复步骤2 - 4，直到误差达到可接受范围。

2. 信息论基础

信息论是一个相对较新的研究领域，它为现