11、贝叶斯规则：从硬币翻转到行星生命探测的概率之旅

贝叶斯规则：从硬币翻转到行星生命探测的概率之旅

1. 硬币翻转概率分析

1.1 硬币区域与结果可能性

在考虑硬币翻转结果时，我们观察到一个有趣的现象。当有一个正常硬币（Fair coin）和一个有偏向的硬币（Rigged coin）时，如果将它们出现正面的区域画出来，有偏向硬币出现正面的区域比正常硬币出现正面的区域大。这意味着当我们得到“正面”的结果时，这个结果更有可能来自有偏向的硬币区域。就像向一面如特定图中所画的墙投掷飞镖，飞镖更有可能落在有偏向硬币正面的区域，而不是正常硬币正面的区域。

1.2 用概率表达硬币翻转

我们可以用概率术语来重新描述这个情况。得到正常硬币并且出现正面的概率表示为 (P(H,F))（等同于 (P(F,H))），得到有偏向硬币并且出现正面的概率表示为 (P(H,R))。图 4 - 4 中区域的比例可以解释为一个概率陈述，它展示了在已知硬币出现正面的情况下，这枚硬币是正常硬币的概率，即 (P(F|H))，它代表“在观察到正面的情况下，我们拿到的是正常硬币的概率”，这个条件概率就是我们要解决问题的答案。其表达式如下：
[P(F | H) = \frac{P(H,F)}{P(H,F) + P(H,R)}]

1.3 计算具体概率

在这个简单的例子中，我们可以给各项赋值来计算实际概率。已知 (P(F))（开始时拿到正常硬币的概率）为 (\frac{1}{2})，(P(R))（开始时拿到有偏向硬币的概率）也为 (\frac{1}{2})，(P(H|F))（拿到正常硬币时出现正面的概率）为 (\frac{1}{2})，(P(H|R))（拿到有偏向硬币时出现正面的概率）为 (\frac{