11、贝叶斯规则：从硬币抛掷到行星生命探测的概率分析

贝叶斯规则：从硬币抛掷到行星生命探测的概率分析

1. 硬币抛掷概率模型

1.1 概率区域与结果分析

想象一个场景，有一个画有不同区域的图，其中作弊硬币正面区域比公平硬币正面区域大。这意味着当我们抛硬币得到正面结果时，这个“正面”更有可能来自作弊硬币区域。就好比向如特定图形所画的墙面投飞镖，飞镖更有可能落在作弊硬币正面区域，而非公平硬币正面区域。

1.2 用概率表达硬币抛掷结果

我们可以用概率术语来重新描述这个情况。得到公平硬币且抛出正面的概率记为 (P(H,F))（等同于 (P(F,H))），得到作弊硬币且抛出正面的概率记为 (P(H,R))。图中区域的比例可以解释为一个概率陈述，即已知硬币抛出正面，它是公平硬币的概率 (P(F|H))，这是一个条件概率，也是我们要解决的问题的答案。其表达式为：
[P(F | H) = \frac{P(H,F)}{P(H,F) + P(H,R)}]

1.3 联合概率的计算方法

通常情况下，我们很难直接得知这些联合概率的值。不过，我们可以用两种不同但等价的方式来表示联合概率，每种方式都涉及一个简单概率和一个条件概率。具体如下：
- 两个事件 (A) 和 (B) 的联合概率可以表示为条件概率 (P(A|B)) 乘以 (B) 的概率 (P(B))，即 (P(A,B) = P(A|B) \times P(B))。
- 也可以表示为条件概率 (P(B|A)) 乘以 (A) 的概率 (P(A))，即 (P(A,B) = P(B|A) \times P(A))。

1.4 计算公平硬币的概率

我们将 (P(H,F))