3、乘法差分：密码分析的新视角

乘法差分：密码分析的新视角

1. 引言

在软件密码学领域，模乘是一种广受欢迎的基本运算，因为许多CPU都具备内置的乘法指令。在内存受限的环境中，乘法是S盒的一个有吸引力的替代方案，S盒通常需要使用大表来实现。传统的差分密码分析主要考虑形如 $(x, x ⊕∆)$ 或 $(x, x + ∆)$ 的消息对，这种方法在处理使用异或、加法或位排列的密码时表现良好，但在面对模乘运算时却往往失效。

因此，我们考虑形如 $(x, αx)$ 的差分对，它们与乘法运算天然可交换。密码分析者运用乘法差分的任务，就是找出能让差分通过密码中其他运算的 $α$ 值。

虽然差分密码分析可以应用于任何阿贝尔群，但研究人员大多忽略了乘法差分，即乘法群 $(Z/nZ)^*$ 上的差分，可能是因为不清楚如何将其与异或等基本运算相结合。本文将开发新的技术，使乘法差分成为比以往更具威胁性的密码分析工具。

2. 相关工作回顾

在密码分析领域，有许多经典的密码算法和分析方法。我们分析了xmx密码，它最初由M’Raihi、Naccache、Stern和Vaudenay提出；还研究了Nimbus密码，它由Machado提出并被Furman破解；IDEA密码则由Lai、Massey和Murphy首次提出。

Meier观察到IDEA密码的一部分常可简化为仿射变换，并利用这一点通过差分密码分析破解了2轮IDEA。Daemen、Govaerts和Vandewalle发现，当 $x$ 的次低位 $x_1$ 为1时，$-x \bmod 2^{16}+1 = x⊕11 \cdots 101$，并展示了在某些IDEA子密钥为 $\pm1$ 时，该算法可被差分密码分析破解。