12、模型降阶中的后验误差估计

模型降阶中的后验误差估计

1. 弹性多体系统的运动方程

当处于静止状态的弹性体 $\Omega \in R^d$ 在时间区间 $[0, T]$ 内受到外力扰动时，它会将能量转化为弹性和动能分量。为了使所有力达到平衡，系统会发生位移，从而产生弹性和刚性位移。根据虚功原理，可得到一个偏微分代数方程（PDAE）的弱形式：
[
\begin{align }
\int_{\Omega} \rho \ddot{u} \cdot \delta u d\Omega + \int_{\Omega} \tilde{E} : E : \delta \tilde{E} d\Omega + (\nabla C(u))^T\lambda \cdot \delta u &= \int_{\Omega} g_s \cdot \delta u d\Omega + \int_{\partial\Omega} g_{\Gamma} \cdot \delta u d\Omega\
C(u) &= 0
\end{align }
]
其中，$\rho$ 是弹性体的恒定质量密度，$g_s(x, t)$ 和 $g_{\Gamma}(x, t)$ 分别是源项和牵引力项，$C : R^d \to R^m$ 表示相关的线性约束，$\ddot{u}$ 表示对时间的二阶导数，$\delta u$ 表示未知位移 $u(x, t)$ 的变分，$\partial\Omega$ 是系统所占区域 $\Omega \subset R^d$ 的边界。

在绝对坐标公式（ACF）中，简化应变张量 $\tilde{E}$ 为：
[
\tilde{E}