11、基于LUPOD的全在线降阶模型与配点法

基于LUPOD的全在线降阶模型与配点法

在模型降阶领域，有两种关键方法能显著提升标准降阶模型（ROMs）的性能。一方面，将标准数值求解器与快速Galerkin系统相结合，能形成POD on the Fly方法，这是一种全在线方法，能改进传统的预处理器ROMs。另一方面，有一种高效的采样方法，即LUPOD，它基于快照矩阵的LU分解和POD的协同组合，能选出合适的配点集进行Galerkin投影。

1. LU配点与LUPOD方法

LUPOD方法是一种基于不完全LU分解（即带双主元的高斯消元法）的采样技术，用于从快照矩阵中选择合适的配点集和方便的快照集。其算法步骤如下：
1. 步骤1 ：给定快照矩阵 $S = [s_1, \ldots, s_K]$，其中 $s_k \in C^J$，首先确定 $S$ 中绝对值最大的元素 $S_{j_1k_1}$。索引 $j_1$ 和 $k_1$ 分别定义第一个配点和第一个选定的快照。
2. 步骤2 ：以 $S_{j_1k_1}$ 为主元，按列进行高斯消元，将 $S$ 的第 $j_1$ 行置为零。然后移除 $S$ 的第 $k_1$ 列，定义第一个修改后的快照矩阵 $S_1$。
3. 步骤3 ：对修改后的矩阵 $S_1, S_2, \ldots$ 迭代执行步骤1和2，以识别新的配点（索引 $j_2, j_3, \ldots$）和修改后的快照（索引 $k_2, k_3, \ldots$），直到主元小于给定的小阈值 $\varepsilon_{LU} > 0$，即直到 $|S_{N+1}| {max} / |S|