具有非多项式更新的概率程序的矩不变量方法
1. 随机参数分布类型
在处理概率可解循环时,随机参数的分布情况对计算有着重要影响,主要分为迭代稳定分布和迭代非稳定分布两种类型。
- 迭代稳定分布 :假设存在一个概率可解循环 $P$,其中有一个(非基本)状态变量 $x \in P$,它具有非多项式的 $L^2$ 类型更新 $g(Z)$,这里 $Z = (Z_1, …, Z_k)^T$ 是一个由(基本)连续、独立且在各迭代中同分布的随机变量组成的向量。也就是说,对于随机变量 $Z_j$ 在迭代 $n$ 中的概率密度函数 $f_{Z_j}(n)$,有 $f_{Z_j}(n) \equiv f_{Z_j}(n’)$,对于所有的迭代 $n$、$n’$ 以及 $j = 1, …, k$ 都成立。并且基本随机变量 $Z_1, …, Z_k$ 和更新函数 $g$ 满足特定条件,在这种情况下,PCE 近似中傅里叶系数的计算可以按照特定方法进行,收敛速率是最优的。
- 迭代非稳定分布 :同样考虑概率可解循环 $P$,状态变量 $x \in P$ 有非多项式的 $L^2$ 类型更新 $g(Z)$,但此时 $Z = (Z_1, …, Z_k)^T$ 是连续独立但不一定在各迭代中同分布的随机变量向量。对于这类概率可解循环,部分条件成立,但某些条件可能不满足。针对这种情况,若固定循环迭代次数,可以确保最优指数收敛;对于无界循环,下面将介绍均方收敛的方法并确定其收敛速率。
2. 迭代非稳定分布的估计方法
2.1 给定迭代次数的条件估计器
设 $N$ 是一个预先固定的有限整数,表示最大迭代次数