2、基于多项式混沌展开的概率程序矩不变量估计

基于多项式混沌展开的概率程序矩不变量估计

1. 引言

概率程序（PPs）在人工智能应用、安全/隐私协议或随机动态系统建模等多个领域得到了广泛应用。研究这些过程的性质需要了解其分布，即执行概率程序所生成的随机变量的分布。许多分布可以通过其矩来表征。此前有研究定义了一类概率可解循环，可自动将程序状态变量的基于矩的不变量计算为封闭形式的表达式，但这类循环仅限于多项式变量更新。

然而，对复杂动态进行建模通常需要使用非多项式更新，例如在转弯车辆模型中。因此，如何利用概率可解循环类来估计由非多项式非线性函数控制更新的概率循环的基于矩的不变量，成为一个有待解决的研究问题。

2. 预备知识

2.1 概率可解循环

概率可解循环是一类可以符号化计算程序变量各阶矩的循环。给定一个概率可解循环和一个程序变量 $x$，可以计算出任意 $k \in N$ 时 $E(x^k_n)$ 的封闭形式解，其中 $n$ 表示第 $n$ 次循环迭代。

概率可解循环的形式为：$I; while(true){U}$，其中：
- $I$ 是对 ${x_1, …, x_m}$ 子集的初始赋值序列，$x_i$ 的初始值可以从已知分布中抽取，也可以是实常数。
- $U$ 是循环体，是 $m$ 个随机更新的序列，每个更新形式为：$x_i = Dist$ 或 $x_i := ax_i + P_i(x_1, …, x_{i - 1})$，其中 $a \in R$，$P_i \in R[x_1, …, x_{i - 1}]$ 是关于程序变量 $x_1, …, x_{i - 1}$ 的多项式，$Dist$ 是与程序变量无关且矩可计算的分布。

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