31、可概率求解循环的基于矩的不变量自动生成

可概率求解循环的基于矩的不变量自动生成

1. 编程模型：可概率求解程序

可概率求解程序是在概率 P - 可解程序基础上发展而来。P - 可解程序是一类非确定性循环，其行为可以通过程序变量上的 C - 有限递归系统来表示。而可概率求解程序则在此基础上，允许对随机变量和分布进行概率赋值。

1.1 可概率求解循环的定义

设 $m \in N$，$x_1, \ldots, x_m$ 为实值程序变量。可概率求解循环的形式为：

I; while(true){U}

其中：
- $I$ 是对 $x_1, \ldots, x_m$ 的初始赋值序列，即 $x_1 := c_1; x_2 := c_2; \ldots; x_m := c_m$，其中 $c_i \in R$ 是从已知分布中抽取的数，特别地，$c_i$ 可以是实常数。
- $U$ 是循环体，由 $m$ 个随机更新组成，每个更新形式为：
- 概率更新：$x_i := a_ix_i + P_i(x_1, \ldots, x_{i - 1}) [p_i] b_ix_i + Q_i(x_1, \ldots, x_{i - 1})$
- 确定性赋值：$x_i := a_ix_i + P_i(x_1, \ldots, x_{i - 1})$

这里，$a_i, b_i \in R$ 是常数，$P_i, Q_i \in R[x_1, \ldots, x_{i - 1}]$ 是关于程序变量 $x_1, \ldots, x_{i - 1}$ 的多项式。$p_i \in [