5、恒定维度码与循环子空间码的构造探索

恒定维度码与循环子空间码的构造探索

1. 恒定维度码相关猜想与性质

在恒定维度码的研究中，存在一个关于一般参数 (n) 的猜想。不过，当 (n = 8)，(k = 4) 时，该猜想已被证伪。但另一方面，对于任意的 (q) 和 (k)，存在无穷多个 (n) 使得该猜想成立，其余参数集的情况仍为猜想。

一般而言，确定循环轨道码的最小子空间距离，可通过观察轨道的初始点 (U \in G_q(k, n)) 来实现。对于辛格子群轨道以及更一般的任意循环群，已有相关方法来确定该距离。之后，有研究对该方法进行了改进，定义了子空间 (U \in G_q(k, n)) 的“最佳朋友”，即 (F_{q^n}) 中使得 (U) 为向量空间的最大子域 (F_{q^r})。借助“最佳朋友”，可得到对应码的基数和距离的估计：
- 定理 23 ：设 (U \in G_q(k, n)) 且 (P \in GL_n(q)) 是一个 (n) 次首一本原多项式的伴随矩阵。考虑轨道码 (C = U\langle P\rangle)。若 (F_{q^r}) 是 (U) 的最佳朋友，则 (|C| = \frac{q^n - 1}{q^r - 1}) 且 (2r \leq d_S(C) \leq 2k)。

此外，还有研究建立了循环轨道码初始点的选择与适当参数的循环差集构造之间的联系，也有关于不可约循环轨道码的相关结果。

2. 轨道的并集与循环子空间码

在研究中引入了循环子空间码的概念，它是本原循环轨道码的并集，一般形式下可以是不同维度的本原循环轨道码的并集。可以利用子空间多项式来构造良好的循环子空间码。
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