CDF累积分布函数是什么？

CDF是累积分布函数（Cumulative Distribution Function）的缩写，它是概率论和统计学中一个重要的概念。CDF表示一个随机变量小于或等于某个特定值的概率。

定义

对于一个随机变量 $X$，其CDF $F(x)$ 定义为：

$$F(x)=P(X\le x)$$

其中，

• $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的CDF。
• $P(X\le x)$ 表示随机变量 $X$ 取值小于或等于 $x$ 的概率。

特点

• 非递减性：CDF总是随着 $x$ 的增加而非递减，因为随着观察值界限的增加，包含的事件数量不会减少。
• 范围：CDF的值域在0到1之间，即 $0\le F(x)\le 1$。
• 极限性质：随机变量 $X$ 的CDF满足 ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$ 和 ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$。

应用

• 概率计算：CDF可以用来确定随机变量在特定区间内取值的概率。
• 描述分布特性：CDF提供了随机变量分布的完整信息，可以用来描述其统计特性，如中位数、四分位数等。
• 统计分析和建模：在统计分析和概率建模中，CDF是基本工具，用于推断、假设检验和预测。

例子

如果随机变量 $X$ 服从标准正态分布，则其CDF $F(x)$ 表示的是随机变量 $X$ 取值小于或等于 $x$ 的概率，可以通过正态分布的积分来获得。对于标准正态分布，这个函数是S形的，其在 $x=0$ 处的值约为0.5，这意味着随机变量小于0的概率为50%。