本文深入探讨了正规矩阵的特性，包括对角矩阵、实对称矩阵、厄米特矩阵等，及其与谱半径、谱范数的关系。通过详细的数学证明，揭示了正规矩阵的相似标准型和谱半径、谱范数之间的联系。
这里有三个定义：正规矩阵、谱半径、谱范数
正规矩阵
有一类矩阵
A
A
A，如：对角矩阵、实对称矩阵（
A
⊤
=
A
A^\top = A
A⊤=A）、实反对称矩阵（
A
⊤
=
−
A
A^\top = -A
A⊤=−A）、厄米特矩阵（
A
H
=
A
A^H = A
AH=A）、反厄米特矩阵（
A
H
=
−
A
A^H = -A
AH=−A）、正交矩阵（
A
T
A
=
A
A
T
=
I
A^T A = AA^T= I
ATA=AAT=I）以及酉矩阵（
A
H
A
=
A
A
H
=
I
A^H A = AA^H = I
AHA=AAH=I）等，都有一个共同的性质：
A
A
H
=
A
A
H
AA^H = AA^H
AAH=AAH为了能够用统一的方法研究他们的相似标准型，我们引入正规矩阵的概念。
设
A
∈
C
n
×
n
A \in C^{n \times n}
A∈Cn×n，且
A
A
H
=
A
H
A
AA^H = A^HA
AAH=AHA，则称
A
A
A 为正规矩阵。
- 当正规矩阵的全部特征值为实数时，是厄米特矩阵；
- 当正规矩阵的全部特征值为零或虚数时，是反厄米特矩阵；
- 当正规矩阵的全部特征值的模为1时，是酉矩阵。
上面提到的几个特殊矩阵都是正规矩阵，但正规矩阵并不限于以上几种。
谱半径
A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)
谱范数
注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即 A H A A^HA AHA 最大特征值的算术平方根。
谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。
证明
命题：A是正规阵，必然存在酉阵Q满足： Q ′ ∗ A ∗ Q = D Q' * A * Q = D Q′∗A∗Q=D，D为对角阵且每个对角元zhi为A的特征值。
- A的二范数 <=> A的最大奇异值 <=> max(sqrt(eig(A’ * A))) <=> max(sqrt(eig(D’ * D))) <=> D的模最大对角元 <=> A的谱半径，证毕！
- 记D = diag{λ1, λ2, …, λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn|，则|λ1|为A的谱半径。
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1，必然有：||Ax1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量，即：||y1||₂= 1且||A||₂= ||Ay1||₂。y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1，且z1也为单位向量。不难得出：||A||₂= ||Ay1||₂= ||AQz1||₂= ||Dz1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得：||A||₂= |λ1|，证毕！
参考资料
- https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E7%9F%A9%E9%98%B5/5982147
- https://zhidao.baidu.com/question/505550281.html
- https://www.zhihu.com/question/40181430/answer/85446211
- http://blog.sina.com.cn/s/blog_6edc8c0d0102wdl9.html
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