自抗扰控制（ADRC）—— 微分跟踪器

原理

微分跟踪器（Tracking-Differentiator）的功能：输入一个信号$v(t)$，输出两个信号$z_1(t),z_2(t)$，其中$z_1(t)$跟踪信号$v(t)$，而$z_2(t)=\dot{z_1}(t)$，因而$z_2(t)$ 可以看做$v(t)$的近似导数。

如何设计微分跟踪器主要依据以下定理：


意思就是如果一个形如(1)式的二阶微分方程组，具有全局渐进稳定的零点，就可以用来构造如(2)所示的微分跟踪器。

仿真

四阶龙格库塔数值积分法

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline


def dxdt(x,y,t,h=2e-2):

    K1, L1 = f1(x, y, t), f2(x, y, t)
    dx, dy = h*K1/2, h*L1/2
    K2, L2 = f1(x+dx, y+dy, t), f2(x+dx, y+dy, t) 
    dx, dy = h*K2/2, h*L2/2
    K3, L3 = f1(x+dx, y+dy, t), f2(x+dx, y+dy, t)
    dx, dy = h*K3, h*L3 
    K4, L4 = f1(x+dx, y+dy, t), f2(x+dx, y+dy, t)

    dx = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)*h/6
    dy = (L1 + 2*L2 + 2*L3 + L4)*h/6

    return dx, dy

def trajectory(initial_point = [0, 0], num_points=1e4, h=2e-2):
    x0, y0 = initial_point[0], initial_point[1]
    n = int(num_points)
    x = np.zeros([n,2])
    x[0,:] = [x0,y0]

    for k in range(1,n):
        dx,dy = dxdt(x[k-1,0],x[k-1,1],h*k,h)
        x[k,0] = x[k-1,0] + dx
        x[k,1] = x[k-1,1] + dy

    return x.T

测试以下：

def f1(x, y, t):
    return y - 0.1*x

def f2(x, y, t):
    return -x 

N = 10000
x = trajectory((0.5,0.5),N)
fig = plt.figure()
plt.plot(*(0.5,0.5),'o',label='start')
plt.plot(*x, color='red',label='trajectory')
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在画一个看看，据论文说这是一个由二阶最速开关系统：

def sat(x, delta):
    return  x/delta if np.abs(x)<delta else np.sign(x)

def f1(x, y, t):
    return y 

def f2(x, y, t):
    return -R*sat(x + np.abs(y)*y/(2*R), delta)


N = 1000
R = 10
x = trajectory((0.5,0.5),N)
fig = plt.figure()
plt.plot(*(0.5,0.5),'o',label='start')
plt.plot(*x, color='red',label='trajectory')
plt.plot(*x[:,-1],'o', color='green',label='end')
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

说明上面的数值积分算法还行吧

跟踪带噪声的正弦信号

def f1(x, y, t):
    return y

def f2(x, y, t):
    return -R*sat(x - v(t) + np.abs(y)*y/(2*R), delta)

def sat(x, delta):
    return  x/delta if np.abs(x)<delta else np.sign(x)

def v(t):
    return np.sin(t) + np.random.randn()*0.01

R = 8
delta = 0.01
N = 1000
x = trajectory((0.5,0.5),N)
fig = plt.figure()
plt.plot(x[0], color='red', label='track')
plt.plot(x[1], color='blue', label='diff')
plt.legend()
plt.show()

红线是对正弦信号的跟踪，蓝线是对输入信号导数的估计。

跟踪阶跃信号

def f1(x, y, t):
    return y

def f2(x, y, t):
    return -R*sat(x - v(t) + np.abs(y)*y/(2*R), delta)

def sat(x, delta):
    return  x/delta if np.abs(x)<delta else np.sign(x)

def v(t):
    return 1 if int(t)%2==0 else 0

R = 90
delta = 0.001
h = 1e-2
N = 600
x = trajectory((0.5,0.5),N,h)
fig = plt.figure()
plt.plot(x[0], color='red', label='track')
plt.show()
plt.plot(x[1], color='blue', label='diff')
# plt.plot((x[0][1:]-x[0][:-1])/h, color='green', label='diff')
plt.legend()
plt.show()

有一定的超调，微分信号有震颤

参考文献

韩京清, 王伟. 非线性跟踪─微分器[J]. 系统科学与数学, 1994(02):177-183.