卷积原来这么简单

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转载最新推荐文章于 2026-08-28 17:40:17 发布 834 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

简单说说卷积的作用卷积是一个耳熟能详的的词，自从我开始学习信号与系统以后，就一直没有离开过它，不过只是把它当成一个运算符号来看待。不过闲着的时候，也会去想，卷积到底有什么作用。提供一种方便的频域处理方式时域卷积频域相乘这条法则想必大家都知道，作用非常大，可以轻松的对信号的频域做处理简单的应用就是频域滤波 F(x)代表输入信号，H(x)代表滤波函数，g(x)代表滤波（输出）信号。转换... 阅读详情

卷积原来这么简单

识别一幅图片是包含有字母"X"还是字母"O"？

为了帮助指导你理解卷积神经网络，我们讲采用一个非常简化的例子：确定一幅图像是包含有"X"还是"O"？

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这个例子足够说明CNN背后的原理，同时它足够简单，能够避免陷入不必要的细节。在CNN中有这样一个问题，就是每次给你一张图，你需要判断它是否含有"X"或者"O"。并且假设必须两者选其一，不是"X"就是"O"。理想的情况就像下面这个样子：

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对于计算机来说，只要图像稍稍有一点变化，不是标准的，那么要解决这个问题还是不是那么容易的：

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计算机要解决上面这个问题，一个比较天真的做法就是先保存一张"X"和"O"的标准图像（就像前面给出的例子），然后将其他的新给出的图像来和这两张标准图像进行对比，看看到底和哪一张图更匹配，就判断为哪个字母。但是这么做的话，其实是非常不可靠的，因为计算机还是比较死板的。在计算机的“视觉”中，一幅图看起来就像是一个二维的像素数组（可以想象成一个棋盘），每一个位置对应一个数字。在我们这个例子当中，像素值"1"代表白色，像素值"-1"代表黑色。

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当比较两幅图的时候，如果有任何一个像素值不匹配，那么这两幅图就不匹配，至少对于计算机来说是这样的。
对于这个例子，计算机认为上述两幅图中的白色像素除了中间的3*3的小方格里面是相同的，其他四个角上都不同：
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因此，从表面上看，计算机判别右边那幅图不是"X"，两幅图不同，得出结论：

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但是这么做，显得太不合理了。理想的情况下，我们希望，对于那些仅仅只是做了一些像平移，缩放，旋转，微变形等简单变换的图像，计算机仍然能够识别出图中的"X"和"O"。就像下面这些情况，我们希望计算机依然能够很快并且很准的识别出来：

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这也就是CNN出现所要解决的问题。

Features

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对于CNN来说，它是一块一块地来进行比对。它拿来比对的这个“小块”我们称之为Features（特征）。在两幅图中大致相同的位置找到一些粗糙的特征进行匹配，CNN能够更好的看到两幅图的相似性，相比起传统的整幅图逐一比对的方法

每一个feature就像是一个小图（就是一个比较小的有值的二维数组）。不同的Feature匹配图像中不同的特征。在字母"X"的例子中，那些由对角线和交叉线组成的features基本上能够识别出大多数"X"所具有的重要特征。

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这些features很有可能就是匹配任何含有字母"X"的图中字母X的四个角和它的中心。那么具体到底是怎么匹配的呢？如下
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到这里是不是有了一点头目呢。但其实这只是第一步，你知道了这些Features是怎么在原图上面进行匹配的。但是你还不知道在这里面究竟进行的是怎样的数学计算，比如这个下面3*3的小块到底干了什么？

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接下来就跟进介绍里面的数学操作，也就是我们常说的“卷积”操作。

卷积(Convolution)

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每个像素相乘然后相加。

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当给你一张新的图时，CNN并不能准确地知道这些features到底要匹配原图的哪些部分，所以它会在原图中每一个可能的位置进行尝试。这样在原始整幅图上每一个位置进行匹配计算，我们相当于把这个feature变成了一个过滤器。这个我们用来匹配的过程就被称为卷积操作，这也就是卷积神经网络名字的由来。

这个卷积操作背后的数学知识其实非常的简单。要计算一个feature和其在原图上对应的某一小块的结果，只需要简单地将两个小块内对应位置的像素值进行乘法运算，然后将整个小块内乘法运算的结果累加起来，最后再除以小块内像素点总个数即可。如果两个像素点都是白色（也就是值均为1），那么11 = 1，如果均为黑色，那么(-1)(-1) = 1。不管哪种情况，每一对能够匹配上的像素，其相乘结果为1。类似地，任何不匹配的像素相乘结果为-1。如果一个feature（比如nn）内部所有的像素都和原图中对应一小块（nn）匹配上了，那么它们对应像素值相乘再累加就等于n2，然后除以像素点总个数n2，结果就是1。同理，如果每一个像素都不匹配，那么结果就是-1。具体过程如下：

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对于中间部分，也是一样的操作：
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最后整张图算完，大概就像下面这个样子：

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然后换用其他feature进行同样的操作，最后得到的结果就是这样了：

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为了完成我们的卷积，我们不断地重复着上述过程，将feature和图中每一块进行卷积操作。最后通过每一个feature的卷积操作，我们会得到一个新的二维数组。这也可以理解为对原始图像进行过滤的结果，我们称之为feature map，它是每一个feature从原始图像中提取出来的“特征”。其中的值，越接近为1表示对应位置和feature的匹配越完整，越是接近-1，表示对应位置和feature的反面匹配越完整，而值接近0的表示对应位置没有任何匹配或者说没有什么关联。

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这样我们的原始图，经过不同feature的卷积操作就变成了一系列的feature map。我们可以很方便，直观地将这整个操作视为一个单独的处理过程。在CNN中，我们称之为卷积层(convolution layer)，这样你可能很快就会想到后面肯定还有其他的layer。没错，后面会提到。我们可以将卷积层看成下面这个样子在这里插入图片描述

因此可想而知，CNN其实做的操作也没什么复杂的。但是尽管我们能够以这一点篇幅就描述了CNN的工作，其内部的加法，乘法和除法操作的次数其实会增加地很快。从数学的角度来说，它们会随着图像的大小，每一个filter的大小和filter的数目呈线性增长。由于有这么多因素的影响，很容易使得这个问题的计算量变得相当的庞大，这也难怪很多微处理器制造商现在都在生产制造专业的芯片来跟上CNN计算的需求。

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