如何通俗易懂地解释卷积？

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原创最新推荐文章于 2025-07-09 14:06:49 发布 3.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

卷积的理解、卷积公式的推导以及计算卷积)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学运算，其本质是一种特殊的积分变换，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。（源于：百度百科）卷积是一种数学运算。既然卷积是一种数学运算，那么肯定有公式吧。我以信号与系统里的卷积公式来解释。连续LTI系统下的卷积公式为：离散LTI系统下的卷积公式为：看到这里依然云里雾里的，接下来我们一步步解释。LTI系统也叫线性时不变系统。阅读详情

从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：

首先是抽象的、符号化的
其次，在生活、科研中，有着广泛的作用

比如加法：

$a+b$ ，是抽象的，本身只是一个数学符号
在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等

卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。

1 卷积的定义

我们称 (f*g)(n) 为 f,g 的卷积

其连续的定义为：

$\displaystyle (f*g)(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau$

其离散的定义为：

$\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(n-\tau )}$

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征有什么意义？

我们令 $x=\tau ,y=n-\tau$ ，那么 x+y=n 就是下面这些直线：

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

此处受到荆哲：卷积为什么叫「卷」积？答案的启发。

只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2 离散卷积的例子：丢骰子

我有两枚骰子：

把这两枚骰子都抛出去：

求：

这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：

那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)

符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：

$\displaystyle (f*g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(4-m)g(m)$

3 连续卷积的例子：做馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是 f(t) ，那么一天后生产出来的馒头总量为：

$\int _{0}^{24}f(t)dt$

馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t) ，比如，10个馒头，24小时会腐败：

10*g(t)

想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。

如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：

$\int _{0}^{24}f(t)g(24-t)dt$

这就是连续的卷积。

4 图像处理

4.1 原理

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：

高频信号，就好像平地耸立的山峰：

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到：

4.2 计算

卷积可以帮助实现这个平滑算法。

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：

然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：

$g=\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}$

记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 $a_{1,1}$ 点，就在矩阵中，取出 $a_{1,1}$ 点附近的点组成矩阵，和进行卷积计算后，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，

虽然和

同维度，但下标有点不一样：

我用一个动图来说明下计算过程：

写成卷积公式就是：

$\displaystyle (f*g)(1,1)=\sum _{k=0}^{2}\sum _{h=0}^{2}f(h,k)g(1-h,1-k)$

要求 $c_{4,5}$ ，一样可以套用上面的卷积公式。

这样相当于实现了这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把矩阵旋转了 $180^\circ$ ）：

此图出处：Convolutional Neural Networks - Basics

编辑于 2017-09-13

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有那么麻烦吗？
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。
这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。

直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。

已知 $x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c$ （注：这里把x[n]看做输入信号）

已知 y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k （注：这里，把y[n]看做离散加权序列）

下面通过演示求 x[n] * y[n] 的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步， x[n] 乘以 y[0] 并平移到位置0：（注：输入x[n]离散点输入x[n]，使用y[0]进行加权，以下类似）

第二步，

乘以

并平移到位置1：

第三步， x[n]

乘以

并平移到位置2：

最后，把上面三个图叠加，就得到了 x[n] * y[n]

：

简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

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从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。（注：从马同学的图像卷积案例，可理解为对各个移动区域（看成一个离散输入）进行加权相加，卷积窗格每移动一格，对新“框定”的区域（又是一个离散输入）进行加权，由于移动过程中，有重叠区域，所以各个窗格（区域）对划过它的全部窗格都要响应，从而得到张俊博所说的加权（输出），只不过张提到的更像是信号处理领域的）这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

编辑于 2016-08-25

看了好多关于卷积的答案，看到这个例子才彻底地理解了这个过程～
关于卷积的一个血腥的讲解
比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号（注：张俊博中的x[n]），脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！

如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数（注：张俊博所说的加权,y[n]）之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积（注：加权之和），卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？
转自GSDzone论坛

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