主讲人：张文俊（深圳大学）
参考教材：《数学文化赏析》
目录
五、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)
六、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）
01 数学之魂
一、数学的对象与内容
恩格斯：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”
（1）对象：万物之本——数与形（科学数学两大柱石、万物共性和本质、一个事物的两个侧面，二者有密切联系）
①形的变化
②量的增减
（2）内容：万物之谜，万事之理——研究共性、本质、规律（数学是研究模式与秩序的科学）
发现本质，揭示规律，建立联系，寻求共性
①不变性：动中有静，变中有恒，乱中有序，异中有同，情中有理，理中有用
②分类
概念：事物分类→共性
结论：定理、公式、法则
二、数学的思想与方法
1、数学建立的程序
（1）数学发展阶段
①创新过程阶段
②理论建立阶段
③应用阶段
2、数学建立的方法
（1）分类研究：按对象属性分类，逐一研究
化难为易，化繁为简，化整为零，积零为整
（2）化归方法
（3）类比方法
（4）归纳方法
（5）抽象化
（6）符号化
（7）公理化
（8）最优化
（9）模型化
三、数学的特点与地位
1、起点：概念的抽象性
（1）抽象功能：找共性、抓本质
（2）数学抽象的特点：
a、只关注数与形
b、层层加深，逐级提高
c、本身几乎完全周旋于抽象概念及其相互关系中
数学中概念或定义的形成主要是分类、抓本质、抓共性的结果
2、过程：推理的严密性
（1）合情推理：
归纳（个体→群体；特殊→一般；创新性）
类比（从一般到特殊、一个个体认识另一个个体）……
（2）演绎推理（收敛性思维）
a、从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系
b、能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地
c、可以克服仪器、技术等手段的局限，弥补人类经验之不足
d、使人类的认识范围从有限走向无限
e、为人类提供了一种构建理论的有效形式
3、结论：结论的确定性
演绎推理→逻辑上具有确定性、可靠性（不确保唯一性）
4、结果：应用的广泛性
5、数学的地位：基础性、普适性、可靠性
题目：
02 数学之功
一、数学的功能
1、实用功能：万物之本（普适可靠，普适源自对象，可靠源自方法）、生活助手（计算、测量）、科学之母、科学之仆
2、教育功能：知识、工具、能力（智力、理解能力、分析判断能力、敏锐、善于归纳、洞悉本质、理性数学思维）、文化
3、语言功能：符号、公式、法则、定理、方程……
三大特点：简单化、清晰化、扩展化
4、文化功能
（1）深化人类对世界的认识，推动人类物质、精神文明的发展
（2）长期积累沉淀，升华人类的精神和品格
①是人类创造并且传承下来的知识、方法、思想
②深入到社会的每个角落
③影响着人类的思想，推动着科技发展和社会进步，与其他文化关系密切
数学文化内涵：知识性成分（数学知识）、观念性成分（数学观念系统）
二、数学的价值
1、教学与个人成长：科学素质（数学）、人文素质（文学）、艺术素质（形体感官）→真善美
（1）数学意识
（2）数学语言：符号化、模式化
（3）数学技能：方法、手段
（4）数学思维：
抽象性（发现本质、共性）
创造性（发散性思维）
逻辑性（演绎推理，精细严谨）
模式化（本质共性→建立模型）
2、数学与人类生活
（1）提高效率 例：20升水洗衣服
（2）解释疑问 例：四条腿（等长）的椅子一定能在不平整的地板上放稳
（3）理智判断
（4）科学决策
3、数学与科技发展
（1）数学是科学的语言（模型描述自然）
（2）数学是科学的圣母（思维孕育科学）→经典力学、相对论、奇性理论、生命科学、拓扑学、数量遗传学、流行病学……
（3）数学是科学的女仆（工具服务科学）→地质勘查、污染问题
4、数学与社会进步
（1）数学工具是促进物质文明的重要力量（例工业革命）
（2）数学理性是促进精神文明的重要因素（例如公理化思想）
（3）数学美学是促进艺术发展的文化激素
03 数学之旅
一、数学的分类
1、纵向——历史
（1）初等数学和古代数学（16世纪以前）：
古希腊时期建立的欧氏几何学；
古代中国、古印度、古巴比伦时期建立的算术；
13-15世纪欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等
特点：常量数学
（2）变量数学（17-19世纪初）
①17世纪，法国笛卡尔建立解析几何（起点）
②牛顿和莱布尼兹建立微积分（标志）
特点：数形结合，从静态到可以研究运动，从逻辑到代数
（3）近代数学（19世纪）：第二次数学危机
分析严密化：极限理论
代数抽象化：解的存在性、个数、结构问题→阿贝尔：五次代数方程通用的求根公式是不存在的→伽罗瓦群论
几何非欧化
（4）现代数学（20世纪）
起点：1900年希尔伯特提出23个数学问题
特点：分支增多，交叉增强
基础：Cantor集合论
特征：单变量到多变量、低维到高维；从线性到非线性；局部到整体，简单到复杂；连续到间断，稳定到分叉；精确到模糊；计算机的应用
趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一；边缘、综合、交叉学科与日俱增；数学表现形式、对象和方法日益抽象化
2、横向——对象与方法
（1）对象与方法
基础数学：代数、几何、分析
应用数学：研究数学的应用、可以应用的数学
计算数学：研究计算方法，涉及到近似计算与优化
概率统计：研究随机科学
运筹与控制论：管理
（2）自然现象：确定现象、随机现象、模糊现象、可拓现象
（3）数学功能角度：
度量→几何（拓扑结构）
计算→代数（代数结构）
统计→统计
比较→分析
二、数学分支发展概况
1、几何学通论：对空间本质的认识论
研究对象：“几何物体”、图形的几何量，空间形式的抽象化
研究内容：各种几何量的关系与相互位置
研究方法：实验方法→思辨方法→解析方法→向量方法（向量几何：不依赖坐标系的解析几何）→微积分方法……
2、代数学大观
初等代数学：研究实数、复数，中心问题→解的存在性、个数、结构问题
高等代数学：
线性代数：方程未知量增加，次数保持一致→矩阵、行列式、向量……
多项式代数：未知量个数不多，次数很多→方程论
任何多项式方程在复数范围内都有解
3、微积分大意：
研究对象：函数
研究工具：极限
研究内容：函数积分、函数微分、微积分基本定理（联系微分和积分的桥梁）
4、随机数学与模糊数学
随机数学：概率论和数理统计
模糊数学：模糊集合
三、数学形成与发展的因素
1、实用：第一动力，社会需要 几何、微积分、概率论
2、科学：自然现象合理结构 图论、拓扑学、复变函数
3、哲学：智力好奇心、纯思维强烈兴趣 数论、非欧几
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