22、MATLAB多项式、曲线拟合与插值的应用详解

MATLAB多项式、曲线拟合与插值的应用详解

1. 插值方法概述

插值是对数据点之间的值进行估计的过程。在一维插值中，每个点有一个自变量（x）和一个因变量（y）；在二维插值中，每个点有两个自变量（x 和 y）和一个因变量（z）。

当只有两个数据点时，可以用直线连接它们，并使用线性方程（一阶多项式）来估计点之间的值。如果有三个或四个数据点，则可以确定通过这些点的二阶或三阶多项式，然后用它来估计点之间的值。但随着数据点数量的增加，需要更高阶的多项式才能通过所有点，不过这样的多项式不一定能很好地逼近点之间的值。

为了获得更准确的插值结果，可以采用样条插值方法。该方法只考虑插值所需邻域内的少数数据点，使用多个低阶多项式，每个多项式仅在数据集的小范围内有效。其中，最简单的样条插值方法是线性样条插值，即连接每两个相邻点的直线（一阶多项式）。其通过相邻两点 $(x_i, y_j)$ 和 $(x_{i+1}, y_{j+1})$ 的直线方程为：
[y = \frac{y_{i + 1} - y_i}{x_{i + 1} - x_i}x + \frac{y_ix_{i + 1} - y_{i + 1}x_i}{x_{i + 1} - x_i}]

在 MATLAB 中，一维插值使用 interp1 函数，其形式为：

yi = interp1(x,y,xi,'method')

其中：
- 向量 x 必须是单调的（元素按升序或降序排列）。
- xi