21、MATLAB 中的多项式、曲线拟合与插值

MATLAB 中的多项式、曲线拟合与插值

1. 多项式概述

多项式是科学和工程中常用于解决问题和建模的数学表达式。很多情况下，在解决问题过程中所列出的方程就是多项式，而问题的解往往就是该多项式的零点。MATLAB 提供了丰富的专门用于处理多项式的函数。

1.1 多项式的形式

多项式的一般形式为：$f(x)=a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0$，其中系数 $a_n, a_{n - 1}, \cdots, a_1, a_0$ 为实数，$n$ 为非负整数，称为多项式的次数或阶数。

以下是不同次数多项式的示例：
|多项式|次数|MATLAB 表示|
| ---- | ---- | ---- |
|$f(x)=5x^5 + 6x^2 + 7x + 3$|5| c = [5 0 0 6 –7 0] |
|$f(x)=2x^2 - 4x + 10$|2| d = [2 –4 10] |
|$f(x)=11x - 5$|1| p = [8 5] |
|$f(x)=6$|0|常量是零次多项式|

在 MATLAB 中，多项式用行向量表示，向量元素为多项式的系数，第一个元素是最高次项的系数，且向量必须包含所有系数，包括为 0 的系数。

1.2 多项式的值

可以使用 polyval 函数计算多项式在某点 $x$ 的值，其形式为 polyval(p,x)