82、动态聚类与调度问题的高效算法解析

动态聚类与调度问题的高效算法解析

在数据处理和优化领域，聚类和调度问题一直是研究的热点。本文将深入探讨动态聚类和调度问题的相关算法，包括 k - 中心问题、带异常值的 k - 中心问题、拟阵中心问题、多样性最大化问题以及最小延迟处理时间问题，并详细分析这些算法的原理、性能和实现步骤。

1. 动态聚类问题的核心算法

在动态聚类问题中，我们主要关注以下几个方面的问题及对应的解决算法：
- k - 中心问题 ：对于 k - 中心问题，我们可以通过构建 (ϵ, k) - 核心集 Q 来进行求解。具体步骤如下：
1. 构建 (ϵ, k) - 核心集 Q，这需要 $O(k((64/ϵ)D + log Δ))$ 的时间。
2. 在第二阶段，使用 (2 + O(ϵ)) - 近似算法在 Q 上计算解 C。由于 $r^ _k(Q) ≤(1+ϵ)r^ _k(S)$，所以 $r_C(Q) ≤(2 + O(ϵ))r^ _k(Q) ≤(2 + O(ϵ))(1 + ϵ)r^ _k(S) = (2 + O(ϵ))r^ _k(S)$。再根据核心集性质和三角不等式，可得 $r_C(S) ≤(2 + O(ϵ))r^ _k$。
3. 第二阶段的运行时间主要由构建 $m = O(ϵ^{-1} ln ϵ^{-1})$ 个 $(α, αp/m)$ - 覆盖树 $T(p)$ 决定，每个插入操作需要 $O(12D log_α Δ)$ 的时间，因此构建每个 $T(p)$ 的成本为 $O(|Q|12D log_α Δ)$。由于 $α = 2/ϵ$ 且 $|Q| ≤ k(64/ϵ)D$，总时间成本为 $O((k/ϵ)(768/ϵ)D log Δ)$，这主导了第一阶段的成本。

• 带 z 个异常值的 k - 中心问题 ：对于带 z 个异常值的 k - 中心问题，我们可以利用增强覆盖树 T 来计算 (3 + O(ϵ)) - 近似解 C。具体步骤如下：

  1. 提取核心集 $Q = pts(T_{ℓ^ })$，其中 $ℓ^ = ℓ^ (k + z)$ 是由公式 3 定义的索引。每个点 $q ∈ Q$ 关联一个权重 $w_q = u.weight$，其中 $u ∈ T_{ℓ^ }$ 且 $u.point = q$。
  2. 对每个点 $q$，其在 T 中的后代节点形成的集合 $S_u$ 中的点与 $q$ 的距离至多为 $ϵr^ _{k+z}(S)$，且所有 $S_u$ 构成了 S 的一个划分，因此 S 中的每个点都可以关联到 Q 中的一个点，该点作为其代理，距离至多为 $ϵr^ {k+z}(S) ≤ r^* {k,z}(S)$。
  3. 在加权核心集 Q 上运行 OutliersCluster 算法，参数为 k、r 和 ϵ，其中 r 是对最优半径的猜测。该算法返回两个子集 $X, Q′ ⊆ Q$，满足 $|X| ≤ k$；对于 S 中代理在 $Q - Q′$ 中的点 $p$，$dist(p, X) ≤ ϵr^ _{k,z}(S) + (3 + 4ϵ)r$；如果 $r ≥ r^ {k,z}(S)$，则 $\sum {q∈Q′} w_q ≤ z$。
  4. 重复运行 OutliersCluster 算法，对于 $r = 2^{ℓ_{max}}/(1 + ϵ)^i$，$i = 0, 1, …$，直到找到最小的 r，使得返回的对 $(X, Q′)$ 中 $Q′$ 的总权重至多为 z，然后返回 $C = X$ 作为最终解。该算法的运行时间为 $O((k + z)^2(64/ϵ)^2D(1/ϵ) log Δ)$。

• 拟阵中心问题 ：对于拟阵中心问题，给定一个定义在集合 S 上的拟阵 $M = (S, I)$ 和关于 M 的增强覆盖树 T，我们可以计算一个 $O(3 + O(ϵ))$ - 近似解 C。具体步骤如下：

  1. 确定核心集 Q 为 $T_{ℓ^ }$ 层节点关联的独立集的并集，即 $Q = \bigcup_{u∈T_{ℓ^ }} u.mis$，其中 $ℓ^ = ℓ^ (ϵ, rank(M))$ 是由公式 3 定义的索引，rank(M) 可以通过 T 的根节点的 mis 大小轻松获得。
  2. 在 Q 上运行 3 - 近似算法，得到解 C。该算法的运行时间为 $O(poly(rank(M), (64/ϵ)D) + rank(M) log Δ)$。

• 多样性最大化问题 ：对于多样性最大化问题，我们可以采用基于核心集的方法来获得近似解。具体步骤如下：

  1. 对于远程边和远程循环变体，直接将 $Q′ = Q$，其中 Q 是 k - 中心问题的 (ϵ, k) - 核心集。对于其他变体，从划分 ${S_p : p ∈ Q}$ 中为每个 $p ∈ Q$ 选择 $min{k, |S_p|}$ 个点，其中 $S_p$ 包含 S 中与 p 的距离至多为 $ϵr^*_k$ 的点。
  2. 给定覆盖树 T，对于远程边和远程团变体，$Q′ = pts(T_{ℓ^ })$，其中 $ℓ^ = ℓ^ (ϵ, k)$ 是由公式 3 定义的索引。对于其他变体，需要使用关于简单 k - 有界基数拟阵 $M_{k,S}$ 的增强覆盖树，此时 $Q′ = \bigcup_{u∈T_{ℓ^ }} u.mis$。
  3. 在 $Q′$ 上运行多项式时间顺序算法 $A_{div}$，得到 $(α_{div} + O(ϵ))$ - 近似解。对于远程边和循环变体，运行时间为 $O(t_{A_{div}}(k(64/ϵ)D) + k log Δ)$；对于其他变体，运行时间为 $O(t_{A_{div}}(k^2(64/ϵ)D) + k log Δ)$。

2. 动态聚类算法的总结

这些算法都是确定性的，并且都运行在同一个增强覆盖树数据结构上，这使得该数据结构可以同时处理不同问题的查询。当输入 S 很大，且度量的扩展 Δ 和双倍维度 D 较小时，动态维护数据结构和提取解的时间远远小于从头在整个点集上计算解所需的时间。

以下是这些问题及算法的总结表格：
| 问题类型 | 近似解 | 运行时间 |
| — | — | — |
| k - 中心问题 | $(2 + O(ϵ))r^* k$ | $O((k/ϵ)(768/ϵ)D log Δ)$ |
| 带 z 个异常值的 k - 中心问题 | $(3 + O(ϵ))$ - 近似 | $O((k + z)^2(64/ϵ)^2D(1/ϵ) log Δ)$ |
| 拟阵中心问题 | $O(3 + O(ϵ))$ - 近似 | $O(poly(rank(M), (64/ϵ)D) + rank(M) log Δ)$ |
| 多样性最大化问题（远程边和循环变体） | $(α {div} + O(ϵ))$ - 近似 | $O(t_{A_{div}}(k(64/ϵ)D) + k log Δ)$ |
| 多样性最大化问题（其他变体） | $(α_{div} + O(ϵ))$ - 近似 | $O(t_{A_{div}}(k^2(64/ϵ)D) + k log Δ)$ |

下面是 k - 中心问题的算法流程 mermaid 图：

graph TD;
    A[构建 (ϵ, k) - 核心集 Q] --> B[在 Q 上计算解 C];
    B --> C[根据核心集性质和三角不等式得到结果];
    B --> D[构建覆盖树 T(p)];
    D --> E[计算总时间成本];

这些算法为动态聚类和多样性最大化问题提供了高效的解决方案，在实际应用中具有重要的价值。

3. 最小延迟处理时间问题

在调度领域，最小延迟处理时间（MTPT）问题是一个经典且具有挑战性的问题。该问题的输入是 n 个作业，每个作业都有一个截止日期和处理时间 $p_i \in N$。目标是在单台机器上安排这些作业，使得延迟作业的总处理时间最小。

3.1 MTPT 问题的复杂性

当所有作业具有相同的截止日期 d 且 $\sum_{j=1}^{n} p_j > d$ 时，判断延迟作业的总处理时间是否恰好为 $P - d$（此时为最优解）等价于子集和问题，因此 MTPT 问题是 NP - 难的。不过，它是弱 NP - 难问题，Lawler 和 Moore 给出了一个 $O(P \cdot n)$ 时间的算法来解决该问题。

3.2 基于卷积的算法

Bringmann 等人引入了一种新的卷积变体，即 (max, min) - 倾斜卷积。他们给出了一个使用 (max, min) - 倾斜卷积的 MTPT 算法，该算法的运行时间在对数因子范围内与计算两个整数向量的 (max, min) - 倾斜卷积的时间相同，这两个向量的和为 $O(P)$，其中 $P$ 是作业处理时间的总和。

• 卷积的定义

  • 给定两个维度为 $n + 1$ 的向量 A 和 B 以及两个二元运算 $\circ$ 和 $\bullet$，$(\circ, \bullet)$ - 卷积应用于 A 和 B 得到一个 $2n + 1$ 维的向量 C，定义为：
    $C[k] = \min{k,n} {\max {i=\max{0,k - n}}} A[i] \bullet B[k - i], \forall k \in {0, …, 2n}$
  • (max, min) - 倾斜卷积应用于 A 和 B 得到一个 $2n + 1$ 维的向量 C，定义为：
    $C[k] = \min{k,n} {\max {i=\max{0,k - n}}} \min {A[i], B[k - i] - i}, \forall k \in {0, …, 2n}$

• 相关集合的计算

  • 设 X 和 Y 是两个整数向量，定义和集 $X \oplus Y = {x + y : x \in X, y \in Y}$，可以通过 $(+, \cdot)$ - 卷积在 $\tilde{O}(P)$ 时间内计算得到。
  • 集合 X 的所有子集和的集合 $S(X) = {\sum_{x \in Z} x : Z \subseteq X}$ 可以通过连续计算和集在 $\tilde{O}(\sum_{x \in X} x)$ 时间内计算得到。
  • 定义 $S(X)$ 的 t - 前缀和 t - 后缀分别为 $pref(S, t) = {x \in S(X) \land x \leq t}$ 和 $suff(S, t) = {x \in S(X) \land x > t}$。

• 可行调度的判断
  对于一个连续的索引子集 $I = {i_0, …, i_1}$，其中 $1 \leq i_0 \leq i_1 \leq D#$，定义一个整数向量 $M(I)$。如果作业集 $J_I$ 中总处理时间恰好为 x 的任何子集都不能被可行调度，则 $M(I)[x] = -\infty$；否则，$M(I)[x]$ 等于从该时间开始作业集 $J_I$ 中总处理时间为 x 的子集可以被可行调度的最晚时间。使用 [3] 中给出的 (max, min) - 倾斜卷积算法，可以在 $\tilde{O}(P_I^{5/3})$ 时间内计算 $M(I)$，这意味着 MTPT 问题有一个 $\tilde{O}(P^{5/3})$ 时间的算法。

3.3 作业捆绑技术

为了进一步提高 MTPT 算法的效率，引入了作业“捆绑”技术。该技术结合已知的 (max, min) - 倾斜卷积算法，得到了一个 $\tilde{O}(P^{7/5})$ 时间的 MTPT 算法，优于之前已知的 $\tilde{O}(P^{5/3})$ 时间算法。

具体来说，应用作业捆绑技术结合一个 $\tilde{O}(P^{\alpha})$ 时间的 (max, min) - 倾斜卷积算法，可以得到一个 $\tilde{O}(P^{2 - 1/\alpha})$ 时间的 MTPT 算法。当 $n = \tilde{\omega}(P^{2/5})$ 时，该算法优于 Lawler 和 Moore 的算法。

4. 总结与展望

本文介绍了动态聚类和调度问题的一系列高效算法，包括 k - 中心问题、带异常值的 k - 中心问题、拟阵中心问题、多样性最大化问题和最小延迟处理时间问题。这些算法在不同的场景下都展现出了良好的性能。

问题领域	具体问题	算法优势
动态聚类	k - 中心问题	利用核心集和覆盖树，在输入规模大且度量参数合适时，显著减少计算时间
	带异常值的 k - 中心问题	通过增强覆盖树和特定算法，得到较好的近似解
	拟阵中心问题	结合拟阵和覆盖树，实现近似求解
	多样性最大化问题	基于核心集和多项式时间算法，获得近似解
调度	最小延迟处理时间问题	引入作业捆绑技术，提高算法效率

下面是 MTPT 问题算法流程的 mermaid 图：

graph TD;
    A[输入作业信息] --> B[判断问题复杂性];
    B --> C[使用卷积算法];
    C --> D[计算相关集合];
    D --> E[判断可行调度];
    E --> F[应用作业捆绑技术];
    F --> G[得到最终解];

未来，我们可以进一步研究这些算法在更复杂场景下的应用，例如多台机器调度、动态变化的作业集等。同时，探索如何进一步优化算法的性能，以满足实际应用中对效率的更高要求。此外，还可以研究这些算法在不同数据分布和度量空间下的稳定性和适应性。