72、图着色与生成树问题的计算复杂性分析

图着色与生成树问题的计算复杂性分析

在图论领域，图着色和生成树问题一直是研究的热点。本文将深入探讨两类问题：无特定环和直径限制图的 3 - 着色问题，以及有向图上的彩色约束生成树问题。

无特定环和直径限制图的 3 - 着色问题

1. (C4, Cs) - 自由直径为 2 的图的 3 - 着色
   • 对于此类图，若在构建特定路径 (P_{ℓ}^ ) 之前过程停止，最多有 (6ℓ) 个顶点被着色，之后可转化为 2 - 列表着色实例。对于每个这样的顶点，最多有三种颜色选择。因此，通过求解最多 (O(3^{6ℓ})) 个 2 - 列表着色实例，或者构建出 (P_{ℓ}^ )，就能判断该实例是否为列表 3 - 可着色。
   • 若图 (G) 包含满足特定条件的 (P_{ℓ}^*)（(ℓ = s - 4)），则可构造出 (C_s)，这与图 (G) 的 (C4, Cs) - 自由性矛盾。所以，根据相关引理，通过求解最多 (O(3^{6s})) 个 2 - 列表着色实例，就能判断实例是否为 3 - 可着色。对于常数 (s)，使用相关定理可知运行时间为多项式时间。
2. (C3, C7) - 自由直径为 2 的图的列表 3 - 着色
   • 考虑图 (G) 及初始的列表 3 - 分配 (L)，目标是将顶点列表大小缩减为 2 - 列表着色实例。若图 (G) 无 (C_5)，则问题可在多项式时间内解决，因为无 (C_5) 且直径为 2 的图的 3 - 着色问题是多项式时间可解的。