29、自同构群与复杂性

自同构群与复杂性

1. 引言

在图论和计算机科学中，图的自同构群（Automorphism Group）是一个重要的概念。它不仅揭示了图的内在对称性，还在算法设计、复杂性理论、密码学等多个领域有着广泛的应用。本文将深入探讨图的自同构群及其相关的计算复杂性问题，旨在为读者提供一个全面而深入的理解。

2. 图的自同构及其定义

2.1 自同构的定义

一个图 ( G = (V, E) ) 的自同构是指一个节点置换 ( \sigma: V \rightarrow V )，使得对于任意两个节点 ( u, v \in V )，如果 ( (u, v) \in E )，则 ( (\sigma(u), \sigma(v)) \in E )。换句话说，自同构是保持图结构不变的节点置换。

2.2 自同构群的定义

图 ( G ) 的自同构群 ( Aut(G) ) 是所有自同构的集合，并且这些自同构在复合运算下形成一个群。自同构群描述了图的对称性，揭示了图中节点之间的内在关系。

2.3 自同构群的性质

自同构群具有以下性质：
- 封闭性 ：两个自同构的复合仍然是自同构。
- 结合律 ：自同构的复合满足结合律。
- 单位元 ：恒等映射是自同构群的单位元。
- 逆元 ：每个自同构都有逆元，且逆元也是自同构。

3. 自同构群的计算复杂性

3.1 识别自同构的复杂性