56、方形机器人的最短协调运动

方形机器人的最短协调运动

1. 引言

基本的运动规划问题是，给定移动物体（机器人）的起始和目标位置，判断物体能否在不与环境中的障碍物以及彼此碰撞的情况下从起始位置移动到目标位置，如果可以，则规划这样的运动。这个问题已经被深入研究了近五十年，有通用的理论解决方案以及一系列更实用的方法，被应用于机器人技术、分子生物学、动画、计算机游戏等领域。

在实际应用中，找到可行的无碰撞运动通常是不够的，我们的目标是找到高质量的路径，例如短路径、与障碍物有高间隙的路径、需要最小能量的路径等。优化运动规划通常比找到可行的解决方案要困难得多。

1.1 无障碍物情况下的最优运动

假设有两个在平面上的轴对齐方形机器人A和B，某一时刻机器人A（或B）的位置用A（或B）表示，指的是其中心的坐标。我们将正方形的半径定义为其边心距（对于正方形来说，就是边长的一半）。设$r_A$和$r_B$分别是机器人A和机器人B的半径，定义$r = r_A + r_B$。为了便于说明，我们假设一个机器人缩小为一个点，另一个机器人的半径扩展为$r$。

给定平面上的一个点X，用$sq(X)$表示以X为中心、半径为$r$的开放轴对齐正方形。如果$A \notin sq(B)$，则称一对位置$(A, B)$是可行的，这也意味着$B \notin sq(A)$。我们的问题实例包括一对可行的初始位置$(A_0, B_0)$和最终位置$(A_1, B_1)$。

从点$X_0$到点$X_1$的轨迹是任何连续可求长的曲线$m_X : [0, 1] \to R^2$，使得$m_X(0) = X_0$且$m_X(1) = X_1$。给定问题实例，协调运动$m$是一对轨迹$m = (m_A