55、非自适应最短路径松弛的下界分析

非自适应最短路径松弛的下界分析

1. 引言

在最短路径问题的研究中，非自适应松弛算法是一类重要的算法。本文将深入探讨非自适应最短路径松弛算法的下界，分析不同类型图（完全图和不完全图）下算法的性能，并介绍相关的图构造和证明方法。

2. 完全图中最短路径边的作用

在完全图的最短路径中，偶数位置和奇数位置的边具有不同的功能：
- 偶数位置的边 ：在最短路径的每一步，迫使松弛序列包含大量的松弛步骤。这是因为下一步的边有很多可能的选择，在确定实际选择的边之前，所有（确定性界限）或很多（随机化界限）这些可能性都必须被松弛。
- 奇数位置的边 ：对松弛步骤序列的长度没有直接的重要贡献。它们的主要作用是将偶数位置的边连接成一条完整的最短路径。

3. 不完全图的构造

为了对不完全图证明类似的下界，我们进行如下构造：
- 选择容量参数 ：选择一个“容量”参数 $c$。
- 定义顶点子集 ：构造包含两个指定的 $c$ 个顶点子集 $S$ 和 $T$ 的图，源顶点包含在子集 $S$ 中。
- 连接 $T$ 到 $S$ ：使用一个双正则二分有向图将 $T$ 中的顶点连接到 $S$ 中的顶点，该图的度 $d \approx m/2c$，其中每个 $T$ 中的顶点有 $d$ 个出边邻居，每个 $S$ 中的顶点有 $d$ 个入边邻居。这个双正则图的作用类似于完全图下界中偶数位置的边，有很多边可供选择，迫使任何松弛算法在每两个选定