54、非自适应最短路径松弛算法的下界分析

非自适应最短路径松弛算法的下界分析

1. 引言

在图论中，最短路径问题是一个经典且重要的问题。Dijkstra 算法能在所有边权非负的有向图中高效地找到最短路径。然而，当允许存在负边权（但无负环）时，问题变得更为复杂。尽管近期在小整数边权图的近线性时间界上取得了突破，但单源最短路径问题的最佳强多项式时间界仍然是 Bellman - Ford 算法，其在具有 $m$ 条边和 $n$ 个顶点的图上时间复杂度为 $O(mn)$，在稠密图上为 $O(n^3)$。

Dijkstra 算法和 Bellman - Ford 算法（以及有向无环图的单源最短路径线性时间算法）都可以统一在松弛算法（也称为标签校正算法）的框架下。这些算法首先初始化从源顶点到其他每个顶点 $v$ 的临时距离 $D[v]$，将 $D[s] = 0$，对于 $v \neq s$，$D[v] = +\infty$。然后，它们反复松弛图的边。对于给定的边 $u \to v$，算法将 $D[v]$ 更新为 $D[u] + length(u \to v)$。在 Dijkstra 算法中，每条边 $u \to v$ 按临时距离 $D[u]$ 的排序顺序松弛一次；而在 Bellman - Ford 算法中，一条边可能会被松弛多次。

设计算法的目标是在进行距离校正松弛的同时，尽可能减少在不校正任何距离的其他松弛操作以及选择执行哪个松弛操作的开销上的努力。为了研究 Bellman - Ford 算法在强多项式最短路径算法类中的最优性，我们聚焦于非自适应松弛算法。这类算法的松弛步骤序列仅由给定图的结构决定，而不依赖于边的权重或先前步骤的结果。Dijkstra 算法是自适应的，而有向无环图的线性时间算法是非自适应的。通常描述的 Bellman