49、图之字形持久性的计算与更新：高效算法解析

图之字形持久性的计算与更新：高效算法解析

在拓扑数据分析中，图之字形持久性的计算与更新是一个重要的研究方向。本文将介绍如何利用Link - Cut Tree数据结构改进图之字形持久性的计算，并阐述在图之字形过滤中进行切换操作时的更新算法。

1. 图之字形持久性计算

为了提高图之字形持久性的计算效率，我们结合了两个重要的研究成果：一是将给定的之字形过滤转换为标准过滤以快速计算之字形条形码；二是利用仅在树上的操作来计算给定图过滤的扩展持久性。

1.1 转换为上下过滤

首先，我们将单纯形级别的图之字形过滤 $F$ 转换为单元级别的上下过滤 $U$。上下过滤的特点是所有插入操作都在删除操作之前进行。

假设单纯形级别的图之字形过滤 $F$ 为：
$F : ∅= G_0 \stackrel{\sigma_0}{\longleftrightarrow} G_1 \stackrel{\sigma_1}{\longleftrightarrow} \cdots \stackrel{\sigma_{m - 1}}{\longleftrightarrow} G_m = ∅$

转换后的单元级上下过滤 $U$ 为：
$U : ∅= \hat{G} 0 \stackrel{\hat{\sigma}_0}{\longrightarrow} \hat{G}_1 \stackrel{\hat{\sigma}_1}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{\hat{\sigma} {k - 1}}{\longrightarrow} \hat{G} k \stackrel{\h