26、在线带预测的间隔调度与相关几何问题解析

在线带预测的间隔调度与相关几何问题解析

1. 引言

在间隔调度问题中，输入是一组具有整数端点的间隔，每个间隔代表一个进程的开始和结束时间步。调度器的任务是决定是否接受每个作业，以确保接受作业的间隔除了可能在端点处外不重叠，目标是最大化接受间隔的数量，即调度器的利润。此问题也被称为固定作业调度和 k - 轨道分配。

间隔调度是不相交路径分配问题的一个特殊情况。不相交路径分配问题的输入是一个图 G 和一组 n 个请求，每个请求由图 G 中的一对顶点定义，算法需要接受或拒绝每对请求，同时要保证接受对之间形成边不相交的路径。当图 G 是路径图时，就是间隔调度问题。不相交路径分配问题对于树和外平面图可以在多项式时间内解决，但对于一般图，甚至是一些受限图如串并联图，它是 NP 完全问题。该问题等同于所有带宽（呼叫和其路由的边）都等于 1 的呼叫控制/呼叫分配问题，以及边具有单位容量的最大多商品整数流问题。

本文关注该问题的在线变体，即请求集事先未知，而是以请求序列 I 的形式逐步揭示。新请求必须不可撤销地接受或拒绝，同时要保持接受请求之间的不相交路径。通过与最优离线算法 Opt 比较来分析在线算法，在线算法 Alg 的竞争比定义为 infI {Alg(I)/Opt(I)}，其中 Alg(I) 和 Opt(I) 分别表示 Alg 和 Opt 在序列 I 上的利润（对于随机算法，Alg(I) 是 Alg 的期望利润）。对于具有 m 条边的路径图上的间隔调度，最佳确定性和随机算法的竞争比分别为 1/m 和 1/⌈log m⌉，这表明需要放宽在线算法的约束才能与 Opt 竞争。该问题在建议复杂度模型下已被研究，在线算法可以访问关于输入的无错误信息即建议，目标是量化竞争比和建议大小之间的权衡。近年来，