27、拉普拉斯方程与势函数的理论及应用

拉普拉斯方程与势函数的理论及应用

1. 拉普拉斯方程基础

1.1 障碍函数问题

假设在 $\xi \in \partial\Omega$ 处满足外切条件，即存在非空圆盘 $B$ 使得 $B \cap \Omega = {\xi}$。对于函数：
[
w(x) =
\begin{cases}
R^{2 - n} - |x - y|^{2 - n}, & n \geq 3 \
\log |x - y| - \log R, & n = 2
\end{cases}
]
其中 $B = B(y, R)$，可证明 $w(x)$ 是 $\xi$ 处的障碍函数。

1.2 泊松积分

聚焦二维情形，借助复变函数理论，将 $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$ 与 $z = x_1 + \sqrt{-1}x_2 \in \mathbb{C}$ 等同看待。
- 定理 10.6 ：若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是单连通区域，实值函数 $u = u(x)$ 在 $\Omega$ 内调和，则存在全纯函数 $f = f(z)$，$z \in \Omega$，使得 $\text{Re} f = u$。$f(z)$ 除一个纯虚数加常数外是唯一的。即便 $\Omega$ 不是单连通的，$f(z)$ 也可局部选取，从而在 $\Omega$ 内成为解析函数。
- 推导泊松积分公式 ：设 $u = u(z)$ 在 $|z| < R$ 内调和且