21、无限维分析中的分布理论：基础与应用

无限维分析中的分布理论：基础与应用

1. 有界集与局部凸空间

在局部凸空间的研究中，有界集是一个重要的概念。设 (X) 是一个局部凸空间，其拓扑由半范数族 (P) 确定。若对于任意 (p \in P)，集合 ({p(x) | x \in B}) 有界，则称集合 (B \subset X) 是有界的。当 (X = \lim_{n \to \infty} X_n) 时，如果 (B \subset X) 有界，那么存在某个 (X_n) 使得 (B \subset X_n) 有界，这一结构对于简化分布 (D’(\Omega)) 的定义至关重要。

1.1 引理与定理

• 引理 7.4 ：若 (X \hookrightarrow Y) 是局部凸空间，(x_0 \in Y \setminus X)，(U) 是 (X) 中 (0) 的绝对凸邻域，则存在 (Y) 中 (0) 的绝对凸邻域 (W)，使得 (U = W \cap X) 且 (x_0 \notin W)。
  • 证明 ：首先取 (Y) 中 (0) 的绝对凸邻域 (V)，使得 (V \cap X \subset U) 且 ((x_0 + V) \cap U = \varnothing)。则 (W = {\lambda u + (1 - \lambda)v | u \in U, v \in V, 0 \leq \lambda \leq 1}) 即为所求。
• 定理 7.29 ：若 (X = \lim_{n \to \infty} X_n)，则 (B \s