56、多领域知识整合：概率、规划与决策

多领域知识整合：概率、规划与决策

在当今复杂的学术和应用领域中，概率理论、线性与整数规划以及马尔可夫决策问题等知识起着至关重要的作用。下面将详细介绍这些领域的核心概念和方法。

概率理论基础

概率理论为讨论机会或不确定性提供了一个正式的框架。以下是概率理论中的一些关键概念：
- 概率模型 ：一个概率模型被定义为一个三元组 (Ω, F, P)，其中：
- Ω 是样本空间，也称为事件空间。例如，在一个六面骰子的模型中，Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
- F 是 Ω 上的一个 σ - 代数，即 F ⊆ 2^Ω 且在交集和可数并集下封闭。
- P : F → [0, 1] 是概率密度函数 (PDF)。在许多情况下，所有结果都是可测量的，此时可以将 F 等同于 2^Ω，并将概率空间视为对 (Ω, P)。
- 概率公理 ：概率密度函数 P 必须满足以下公理：
- 对于任何 A ⊆ Ω，P(∅) = 0 ≤ P(A) ≤ P(Ω) = 1。
- 对于任何一对不相交的集合 A, A′ ⊂ Ω，P (A ∪ A′) = P(A) + P(A′)。
- 边缘概率 ：当样本空间 Ω 被定义为一组随机变量 X1, …, Xn 的笛卡尔积时，我们可以定义边缘概率。例如，单个变量 Xi 取某个值 xi 的概率为：
[P(Xi = xi) = \sum_{x1∈X1} \cdots \sum_{xi - 1∈Xi - 1} \sum_{xi + 1∈Xi + 1} \cdots \sum_{xn∈Xn} P(X1