35、策略性代理协议：机制设计的深入剖析

策略性代理协议：机制设计的深入剖析

1. 机制设计基础与VCG机制

在机制设计领域，我们可以将代理 $i$ 的效用表示为：
$u_i = v_i(x (v)) - (\sum_{j\neq i}v_j(x (v_{-i})) - \sum_{j\neq i}v_j(x (v))) = \sum_{j}v_j(x (v)) - \sum_{j\neq i}v_j(x (v_{-i}))$

由于 $x (v)$ 是使社会福利最大化的选择，且根据选择集单调性，优化过程本可以选择 $x (v_{-i})$，所以有 $\sum_{j}v_j(x (v)) \geq \sum_{j}v_j(x (v_{-i}))$。又因为不存在负外部性，即 $v_i(x (v_{-i})) \geq 0$，所以 $\sum_{i}v_i(x (v)) \geq \sum_{j\neq i}v_j(x (v_{-i}))$，这表明上述效用公式是非负的。

1.1 VCG机制与弱预算平衡

弱预算平衡要求机制不会亏损。然而，之前提到的选择集单调性和无负外部性这两个条件，并不足以保证VCG机制实现弱预算平衡。例如，前面提到的“购买最短路径”示例，虽然满足这两个条件，但VCG机制却支出了资金而没有收取任何费用。

这里引入“无单代理效应”的概念：
若对于任意 $i$、任意 $v_{-i}$ 以及任意 $x \in \arg \max_y \sum_{j} v_j(y)$，都存在一个在没有 $i$ 的情况下可行的选择 $x’$，使得 $\sum_{j\neq i} v_j(x’) \geq \sum_{j\neq i} v_j(x)$，则称该环境具有无单代理效