18、丰富的博弈表示：超越标准型和扩展型

丰富的博弈表示：超越标准型和扩展型

在博弈论中，随机博弈和贝叶斯博弈是两种重要的博弈类型，它们为处理复杂的博弈场景提供了强大的工具。下面将详细介绍这两种博弈的定义、策略、均衡以及计算方法。

随机博弈

随机博弈是一个广泛的框架，它概括了马尔可夫决策过程（MDP）和重复博弈。

定义

随机博弈（也称为马尔可夫随机博弈）是一个元组 $(Q, N, A, P, R)$，其中：
- $Q$ 是一个有限的博弈集合；
- $N$ 是一个包含 $n$ 个玩家的有限集合；
- $A = A_1 × \cdots × A_n$，其中 $A_i$ 是玩家 $i$ 可用的有限行动集合；
- $P : Q × A × Q \to [0, 1]$ 是转移概率函数，$P(q, a, \hat{q})$ 是在行动组合 $a$ 之后从状态 $q$ 转移到状态 $\hat{q}$ 的概率；
- $R = r_1, \cdots, r_n$，其中 $r_i : Q × A \to \mathbb{R}$ 是玩家 $i$ 的实值收益函数。

在这个定义中，假设所有博弈中玩家的策略空间相同，因此博弈之间的差异仅在于收益函数。将 $Q$ 和每个 $A_i$ 限制为有限集是一个实质性的限制，但这样做是为了避免无限情况带来的复杂性。

玩家在每个阶段博弈（或每个状态）的收益已经确定，但如何将这些收益汇总为总体收益尚未明确。可以使用之前在无限重复博弈中讨论过的解决方案，最常用的两种汇总方法是平均奖励和未来贴现奖励。

策略和均衡

• 策略空间