8、非合作博弈论中的纳什均衡：概念、求解与存在性证明

非合作博弈论中的纳什均衡：概念、求解与存在性证明

1. 最佳响应与纳什均衡的定义

从个体参与者的视角来看待博弈，会引出博弈论中极具影响力的概念——纳什均衡。
- 最佳响应 ：若参与者(i)知晓其他参与者的策略(s_{-i})，他的策略问题就简化为选择一个能使自身效用最大化的行动。形式上，参与者(i)对策略组合(s_{-i})的最佳响应是一个混合策略(s_{i}^ \in S_i)，满足(u_i(s_{i}^ , s_{-i}) \geq u_i(s_i, s_{-i}))，对所有(s_i \in S_i)成立。最佳响应不一定唯一，除了存在唯一纯策略最佳响应的极端情况外，最佳响应的数量通常是无限的。
- 纳什均衡 ：策略组合(s = (s_1, \ldots, s_n))是纳什均衡，当且仅当对于所有参与者(i)，(s_i)是对(s_{-i})的最佳响应。直观上，纳什均衡是一种稳定的策略组合，即没有参与者愿意在知道其他参与者策略的情况下改变自己的策略。
- 严格纳什均衡与弱纳什均衡 ：
- 严格纳什均衡：策略组合(s = (s_1, \ldots, s_n))是严格纳什均衡，若对于所有参与者(i)和所有(s_{i}’ \neq s_i)，有(u_i(s_i, s_{-i}) > u_i(s_{i}’, s_{-i}))。
- 弱纳什均衡：策略组合(s = (s_1, \ldots, s_n))是弱纳什均衡，若对于所有参与者(i)和所有(s_{i}’ \neq s_i)，有(u_i(s_i, s_{-i}) \geq u_i(s_{i}