12、量子场论中的多种方法与模型研究

量子场论中的多种方法与模型研究

1. 电场方法与高斯定律

在研究中，有一种方法暗示了高斯定律，但通常情况下，∇× E 不为零，所以在传统静电学中不使用这种方法。这种方法在 D = 3 时是最优的，因为它将希尔伯特空间的维度降低到每个位点一个索引（cx,1, 2），而不是 2 个（ex,1 和 ex,2）。对于 D = 4，两种情况下每个位点都有三个索引，因为 cx j k 仅在梯度范围内定义。利用这种自由度来减小希尔伯特空间大小的方式取决于边界条件。

当希尔伯特空间用新的量子数（方程 (9.40)）进行参数化时，ex j 和 cx j k 之间的关系是线性的。以 Δ c x,1, 2 = 1 为例，会产生如下变化：
- Δ e x,1 = -1
- Δ e x + ˆ 1,1 = 1
- Δ e x,2 = 1
- Δ e x + ˆ 2,2 = -1

这种变化可以看作是在 1 - 2 平面上的一个小方格中顺时针循环的电场，并且显然满足高斯定律。这些变化对应于 Kogut - Susskind 哈密顿量中的 † † U U UU 项。对于 D = 3，我们可以有效地用一个单一的升降算符项来替代两个升降算符项。在更高维度中，对于任意方向对都可以重复这种构造，但 cx j k 存在一些冗余。对于 D = 4，几何解释是我们可以以某种方式组合立方体上的六个小方格，使得所有的电量子数相互抵消。对于开放边界条件（OBC），可以通过消除除边界 2 - 3 平面上的所有 cx,2, 3 来去除这种冗余。对于周期边界条件（PBC），则需要添加其他扇区以允许电场配置环绕空间方向。

练习 2

考虑一个在具有开放边界条件（OBC）