11、量子场论中的转移矩阵与哈密顿量

量子场论中的转移矩阵与哈密顿量

1. 从拉格朗日形式到量子哈密顿形式的过渡

在量子场论中，从之前所考虑的拉格朗日形式过渡到量子哈密顿形式，可以借助转移矩阵来实现。对于在欧几里得时间方向上具有 $N_{\tau}$ 个格点的格点模型，配分函数可以重新表示为：
[
\int = \Phi = - \Phi_{\tau} \mathcal{T} Z e \text{Tr}( ). \quad (9.1)
]
通过取各向异性极限，即当时间链或时空面元上的 $\beta$ 变得很大时，转移矩阵可用于定义哈密顿量，得到如下形式的表达式：
[
\propto - \tau \mathcal{T} \mathcal{H} e( ), \quad (9.2)
]
其中 $a_{\tau}$ 是时间方向上的格点间距。因此，哈密顿量将继承转移矩阵的性质。在实际操作中，使用张量形式可以轻松构建转移矩阵，基本思路是推迟对与时间方向的链或一个时间方向和一个空间方向的面元相关的指标的求和。接下来将分别讨论自旋和规范的情况，首先探讨 $O(2)$ 和 $U(1)$ 的情形。

2. 自旋模型的转移矩阵

2.1 转移矩阵的构建

对于自旋模型，转移矩阵是通过对一个时间切片上所有张量的空间指标进行求迹来构建的（如图 9.1 所示，分别为二维和三维的情况）。在周期边界条件（PBC）或开放边界条件（OBC）下，指标不会在空间方向上“泄漏”。根据全局守恒定律，进入时间切片的时间指标之和等于出去的指标之和，这个守恒量可以被识别为初始态和末态的电荷。转移矩阵与计算进出指标之和的电荷算符对易。

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