1、量子场论中的AdS3空间与测地线计算

量子场论中的AdS3空间与测地线计算

1. AdS3空间的全局坐标

AdS3是一个有趣的例子。其全局坐标由以下一组方程给出：
[
\begin{cases}
X_1 = R\sinh\chi\cos\phi \
X_2 = R\sinh\chi\sin\phi \
X_3 = R\cosh\chi\cos\tau \
X_4 = R\cosh\chi\sin\tau
\end{cases}
]
其中，(\chi \geq 0)，(0 \leq \phi \leq 2\pi)，(0 \leq \tau \leq 2\pi)，这组坐标能覆盖整个AdS3空间一次。要求(\chi \geq 0)是因为改变(\chi)的符号与(\phi \to \phi + \pi)的效果相同。

2. 计算AdS3在全局坐标下的度规

通过计算可以得到AdS3在全局坐标下的度规分量：
- (g_{\chi\chi} = 1)
- (g_{\phi\phi} = \sinh^2\chi)
- (g_{\tau\tau} = -\cosh^2\chi)
其余度规分量为零。

3. 测地线的计算

可以对上述空间的测地线进行计算。首先，当对某个量进行变分以得到测地线方程时，这个量可以写成：
(\tilde{L} \equiv g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} = \eta_{AB}\dot{X}^A\dot{X}^B)
为了施加条件(\eta_{AB}X^AX^B = C)（(C)为