10、拓扑量子场论：原理、类型与应用

拓扑量子场论：原理、类型与应用

1. 拓扑量子计算的地位

在为通用量子计算（UQC）提出的众多理论元素和基底中，拓扑量子计算（TQC）被认为是领先的竞争者。这主要是因为二维准粒子（非阿贝尔任意子）上的分数量子霍尔效应超导体具有假定的效用。这些任意子的世界线交叉形成量子态的拓扑辫子，实际上能与环境安全隔离且不会退相干。此外，TQC的许多拓扑参数就像是高维统一场力学量子计算（UFM）模型的“影子”或低维“玩具模型”。不过，任意子TQC必须在低温下运行，而UFM模型则设计为桌面型且可在室温下运行。

2. 拓扑量子场论（TQFT）基础

2.1 基本概念

对于拓扑量子场论（TQFT），如果一个空间X包含拓扑不变量，那么与X同胚的每个空间也具有该属性。在TFT中，关联函数不依赖于时空的度量，这意味着该理论对时空形状的变化不敏感，时空扭曲或收缩时，关联函数不变，因此它们是拓扑不变量。TFTs通常定义在维度D < 5的时空中，高维理论很少且不太被理解。

2.2 关键公式

将量子场论应用于拓扑的最简单概念是泛函：
[S = \int_{M} A \wedge dA]
其中A是3D紧致流形M上的1 - 形式，关于规范变换 (A \to A + d\lambda) 是不变的。

如果考虑一组场 ({\varphi_i}) 在黎曼n - 流形M上，对于度量 (g_{\mu\nu}) 以及这些场的实函数 (S[\varphi_i])（即理论的作用量），还有一组算子 (O_{\alpha}(\varphi_i))，则算子乘积的真空期望值定义为费曼路径积分：
[\langle O_{\