最长不下降子序列LIS

最长不下降子序列

LIS问题:
在一个数字序列中,找到一个最长的子序列(可以不连续),使得这个子序列是不下降的

原始方法

枚举每种情况,即对于每个元素有取和不取两种选择,然后判断序列是否为不下降序列。
如果是不下降序列,则更新最大长度,直到枚举完所有情况并得到最大长度。
但这种做法时间复杂度将达到O(2^n)显然不可取

动态规划解法

用dp[i]表示以A[i]结尾的最长不下降子序列长度,则A[i]有两种情况
1. 如果存在A[i]之前的元素Aj,使得A[j]<=A[i]且dp[j]+1>dp[i](即把A[i]跟以A[j]结尾的LIS后面时能比当前以A[i]结尾的LIS长度更长)
,那么就把A[i]跟在以A[j]结尾的LIS后面,形成一条更长的不下降子序列,(令dp[i]=dp[j]+1)
2. 如果A[i]之前的元素都比A[i]大,那么A[i]就只好自己形成一条LIS,但是长度为1,即这个子序列里面只有一个A[i]

最后以A[i]结尾的LIS长度就是上述两点中能形成的最大长度

由此写出状态转移方程:
dp[i] = max{1,dp[j]+1}(j=1,2,…i-1&&A[j]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
int A[N],dp[N];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    int ans = -1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i] = 1;
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(A[i]>=A[j]&&(dp[j]+1>dp[i])){
                dp[i] = dp[j]+1;
            }
        }
        ans = max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
### 使用单调队列实现最长下降子序列算法 单调队列是一种高效的优化方法,可以将原本复杂度为 \( O(n^2) \) 的动态规划算法优化到 \( O(n \log n) \)[^1]。以下是使用单调队列求解最长下降子序列LIS)的详细算法和实现。 #### 算法思想 在求解最长下降子序列时,动态规划的核心是维护一个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长下降子序列的长度。然而,这种方法的时间复杂度较高,因此需要借助单调队列进行优化[^4]。 单调队列优化的核心思想是:对于一个单调递增的序列,只需要记录每个长度对应的最小值即可[^2]。具体来说: - 使用一个数组 `f` 来存储当前可能成为 LIS 的候选序列。 - 遍历输入序列中的每个元素,通过二分查找确定该元素在 `f` 中的位置,并更新 `f` 的值。 #### 实现步骤 以下是基于单调队列的最长下降子序列算法的 Python 实现: ```python def lis_with_monotonic_queue(nums): if not nums: return 0 # 定义一个列表 f,用于存储当前的 LIS 候选序列 f = [] for num in nums: # 使用二分查找找到 num 在 f 中的插入位置 left, right = 0, len(f) while left < right: mid = (left + right) // 2 if f[mid] <= num: # 找到第一个大于 num 的位置 left = mid + 1 else: right = mid # 如果 left 等于 len(f),说明 num 比 f 中的所有数都大,直接追加 if left == len(f): f.append(num) else: # 否则替换掉第一个大于等于 num 的数 f[left] = num # 最终 f 的长度即为最长下降子序列的长度 return len(f) # 示例用法 nums = [11, 12, 13, 9, 8, 17, 19] print(lis_with_monotonic_queue(nums)) # 输出 5 ``` #### 代码解析 1. **初始化**:创建一个空列表 `f`,用于存储当前的 LIS 候选序列。 2. **遍历输入序列**:对每个元素 `num`,通过二分查找找到其在 `f` 中的插入位置。 3. **更新候选序列**: - 如果 `num` 大于 `f` 中的所有元素,则将其追加到 `f` 的末尾。 - 否则,替换掉 `f` 中第一个大于等于 `num` 的元素。 4. **返回结果**:最终 `f` 的长度即为最长下降子序列的长度。 #### 时间复杂度分析 - **二分查找**:每次查找的时间复杂度为 \( O(\log n) \)。 - **总复杂度**:由于需要对每个元素进行一次二分查找,因此总时间复杂度为 \( O(n \log n) \)[^1]。 #### 注意事项 1. 单调队列优化适用于严格递增或递减的子序列问题。 2. 如果需要输出具体的最长下降子序列,可以通过额外的回溯操作实现[^3]。
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